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Dérivée d'une fonction

Définition

Si fest définie sur un intervalle I et si a in I, on dit que f est dérivable en a si et seulement si le taux d'accroissement (f(x)-f(a))/(x-a) admet une limite finie lorsque x tend vers a. Cette limite se note alors f'(a).

Propriété

Dérivée des fonctions usuelles :

Fonction Dérivée Ensemble de dérivabilité
k (k in RR) 0 RR
x 1 RR
x^n (n in NN) nx^(n-1) RR
1/(x^n) (n in NN) -n/(x^(n+1)) RR-{0}
sqrt(x) 1/(2sqrt(x)) ]0;+oo[
sin x cos x RR
cos x -sin x RR
tan x 1/(cos^2 x)=1+tan^2x RR - {(2k+1) pi/2 ; k in ZZ }

Propriété

Formules de base :
Si u et v sont 2 fonctions dérivables :

Fonction Dérivée
u+v u' + v'
ku (k in RR) ku'
1/u -(u' )/(u^2)
uv u'v+uv'
u/v (u'v-uv')/(v^2)

Théorème

Dérivée d'une fonction composée :
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un intervalle J contenant u(I), v°u est dérivable sur I et (v°u)'=u'*(v'°u).

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