Bac S Métropole 2009

Exercice 1

4 points - Commun à tous les candidats

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite définie par :
et, pour tout nombre entier naturel , .
On pose, pour tout nombre entier naturel , .

a. Pour tout nombre entier naturel , calculer en fonction de . Quelle est la nature de la suite ?

b. Démontrer que pour tout nombre entier naturel , .

c. Étudier la convergence de la suite .

2. On considère la suite dont les termes vérifient, pour tout nombre entier :
et .
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.
 

1	3	5	7	9	11	13	15	17	19

a. Détailler le calcul permettant d'obtenir .

b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Donner la nature de la suite . Calculer .

Exercice 2

6 points - Commun à tous les candidats

Soit la fonction définie sur l'intervalle par
.
On note la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle .
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal. La courbe est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie).

Annexe 1

 
PARTIE I

1. Justifier que .

2. Justifier que pour tout nombre réel positif , le signe de est celui de .

3. Étudier les variations de la fonction sur l'intervalle .

 
PARTIE II

Soit un nombre réel strictement positif. On pose . On se propose de majorer à l'aide de deux méthodes différentes.

1. Première méthode

a. Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, est égale à .

b. Justifier que pour tout nombre réel strictement positif, .

2. Deuxième méthode

a. Calculer à l'aide d'une intégration par parties en fonction de .

b. On admet que pour tout nombre réel positif .
Démontrer alors que, pour tout nombre réel strictement positif,
.

3. Application numérique
Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de , arrondi au centième. Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où ?

Exercice 3

5 points - Commun à tous les candidats

I. Cette question est une restitution organisée de connaissances.

On rappelle que si et sont deux nombres entiers naturels tels que alors .

Démontrer que pour tout nombre entier naturel et pour tout nombre entier naturel tels que on a : .

II. Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :
7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3.
On tire simultanément deux jetons de ce sac.

2. Soit la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.

a. Déterminer la loi de probabilité de .

b. Calculer l'espérance mathématique de .

Exercice 4

5 points - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct , on associe à tout point M d'affixe non nulle, le point M' milieu du segment où est le point d'affixe .
Le point M' est appelé l'image du point M.

1.

a. Montrer que les distances et vérifient la relation et que les angles et vérifient l'égalité des mesures suivantes
à près.

b. Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2.
Construire le point A' image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).

Annexe 2

2.

a. Justifier que pour tout nombre complexe non nul, le point M' a pour affixe .

b. Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et -2i. Calculer les affixes des points B' et C' images respectives des points B et C.

c. Placer les points B, C, B' et C' sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).

3. Déterminer l'ensemble des points M tels que .

Exercice 4

5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.

1.

a. Déterminer l'ensemble des couples (x,y) de nombres entiers relatifs, solution de l'équation (E) : .

b. Soit un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple de nombres entiers vérifiant et .
Montrer que le couple est solution de l'équation (E) et en déduire que .

c. Déterminer le plus petit de ces nombres entiers supérieurs à 2 000.

2. Soit un nombre entier naturel.

a. Démontrer que pour tout nombre entier naturel on a : .

b. Quel est le reste dans la division euclidienne de par 7 ?

3.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soient et deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec .
On considère le nombre . On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme .
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels ceux qui sont divisibles par 7.

a. Vérifier que .

b. En déduire tous les nombres entiers cherchés.