Bac S Liban 2009

Exercice 1

3 points - Commun à tous candidats

Pour chacune des trois questions. une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification.
Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1.On désigne par et deux évènements indépendants d'un univers muni d'une loi de probabilité .
On sait que et .

La probabilité de l'évènement est égale à :

a.

b.

c.

d.

2.On note une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre .

On rappelle que pour tout réel positif, la probabilité de l'évènement , notée , est donnée par .

La valeur approchée de à près par excès est égale à :

a.

b.

c.

d.

3.Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre.

S'il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à ; s'il ne pleut pas, je sors mon chien avec une probabilité égale à .

Je sors mon chien ; la probabilité qu'il ne pleuve pas est égale à :

a.

b.

c.

d.

Exercice 2

8 points - Commun à tous candidats

On considère la fonction définie sur par

La courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée en annexe.
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

Partie A

1.

a.Déterminer la limite de la fonction en .

b.Montrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe . Tracer .

c.Étudier la position relative de et de .

d.Montrer que pour tout réel .

e.En déduire la limite de en .

2.

a.On note la fonction dérivée de la fonction .
Montrer que pour tout réel, .

b.En déduire les variations de la fonction .

 
Partie B

Soit un entier naturel non nul. On appelle , l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe , la droite d'équation et les droites d'équations et .

1.Justifier que pour tout entier naturel non nul, .

2.On admet que pour tout réel , .

Montrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, .
La suite est-elle convergente?

 
Partie C

Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe .

On note la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

1.Calculer le coefficient directeur de puis construire sur le graphique.

Exercice 3

4 points - Commun à tous candidats

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On désigne par l le milieu de [EF] et par J le symétrique de E par rapport à F.

Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal .

1.

a.Déterminer les coordonnées des points l et J.

b.Vérifier que le vecteur est un vecteur normal au plan (BGI).

c.En déduire une équation cartésienne du plan (BGI).

d.Calculer la distance du point F au plan (BGI).

2.On note () la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).

a.Donner une représentation paramétrique de la droite ().

b.Montrer que la droite () passe par le centre K de la face ADHE.

c.Montrer que la droite () et le plan (BGI) sont sécants en un point, noté L, de coordonnées .

d.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Le point L est-il l'orthocentre du triangle BGI ?

Exercice 4

5 points - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv() (unité graphique : 2cm).

On considère les points A, B et C d' affixes respectives :
, et

Partie A

1.Écrire les nombres complexes et sous forme exponentielle.

 
Partie B

Soit l'application qui, à tout point M du plan d'aflixe , associe le point M' d'affixe .

On note O', A', B' et C' les points respectivement associés par aux points O, A, B et C.

1.

a.Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A', B' et C'.

b.Placer les points A', B' et C'.

c.Démontrer l'alignement des points O, A et B' ainsi que celui des points O, B et A'.

d.Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G' le point associé à G par .
Déterminer les affixes des points G et G'.
Le point G' est-il l'isobarycentre des points O' A', B' et C' ?

2.Démontrer que si appartient à la droite (AB) alors appartient à la parabole d'équation . (On ne demande pas de tracer cette parabole)

Exercice 4

5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel dont l'écriture décimale du cube se termine par 2009, c'est-à-dire tel que .

Partie A

1.Déterminer le reste de la division euclidienne de par .

2.En déduire que .

 
Partie B

On considère la suite définie sur par :
et, pour tout entier naturel .

1.

a.Démontrer que est divisible par 5.

b.Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel

c.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , est divisible par .

2.

a.Vérifier que puis en déduire que .

b.Démontrer alors que .

 
Partie C

1.En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que est divisible par 10 000.