Bac S Centres étrangers 2009

Exercice 1

4 points - Commun à tous candidats

1.Restitution organisée de connaissances :

Pré-requis : On rappelle que deux évènements et sont indépendants pour la probabilité si et seulement si : .

Soient et deux évènements associés à une expérience aléatoire

a. Démontrer que .

b. Démontrer que, si les évènements et sont indépendants pour la probabilité , alors les évènements et le sont également.

Exercice 2

5 points - Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On se propose dans cet exercice, d'étudier des propriétés d'un solide de l'espace.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal .

On considère les points A(3;4;0) ; B(0;5;0) et C(0;0;5). On note I le milieu du segment [AB].

1. Faire une figure où l'on placera les points A, B, C, I dans le repère .

3. Soit H le point de coordonnées .

a. Démontrer que les points H, C, I sont alignés.

b. Démontrer que H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC).

c. En déduire une équation cartésienne du plan ABC.

Exercice 2

5 points - Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. On note (E) l'équation où et sont deux nombres entiers relatifs.

a. Déterminer un couple d'entiers solution de l'équation (E).

b. Déterminer tous les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

c. Préciser les solutions de l'équation (E) pour lesquelles on a à la fois et ;

2. Intersections d'un plan avec les plans de coordonnées
L'espace est muni du repère orthonormal et on désigne par le plan d'équation .

a. Démontrer que est parallèle à l'axe de vecteur directeur .

b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection du plan avec les axes et de vecteurs directeurs respectifs et .

c. Faire une figure et tracer les droites d'intersection du plan avec les trois plans de coordonnées.

d. Sur la figure précédente, placer sur la droite d'intersection des plans et , les points dont les coordonnées sont à la fois entières et positives.

3. Étude d'une surface
est la surface d'équation dans le repère .

Les figures suivantes représentent les intersections de avec certains plans de l'espace.

a. désigne la section de la surface par le plan .
Une des figures données représente laquelle ?

b. désigne la section de par le plan d'équation .
Une des figures données représente , laquelle ?

c. désigne la section de par le plan d'équation .
Une des figures données représente , laquelle ?

d. désigne la section de par le plan d'équation de la question 2.
Déterminer les coordonnées des points communs à et dont l'abscisse et l'ordonnée sont des entiers naturels vérifiant l'équation .

Exercice 3

4 points - Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, on pourra donner un contre-exemple.

1. Pour tout complexe , .

2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal .
Pour tout nombre complexe non nul, les points d'affixe , d'affixe et d'affixe appartiennent à un même cercle de centre O.

3. Pour tout nombre complexe , si , alors la partie imaginaire de est nulle.

4. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal .
Quels que soient les nombres complexes et non nuls, d'images respectives et dans le plan complexe, si et vérifient l'égalité , alors les droites et sont perpendiculaires.

Exercice 4

6 points - Commun à tous les candidats

Soit un entier naturel.
On note , la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par :

On note la courbe représentative de dans un repère orthogonal . Les courbes et sont représentées ci-dessous :

Partie A : Quelques propriétés des fonctions et des courbes

1. Démontrer que pour tout entier naturel les courbes ont un point A en commun. On préciser ses coordonnées.

2. Étude de la fonction

a. Étudier le sens de variation de .

b. Préciser les limites de la fonction en et . Interpréter graphiquement ces limites.

c. Dresser le tableau de variation de fonction sur .

3. Étude de la fonction

a. Démontrer que pour tout nombre réel .

b. En déduire les limites de la fonction en et , ainsi que son sens de variation.

c. Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes et .

4. Étude de la fonction pour

a. Vérifier que pour tout entier naturel et pour tout nombre réel , on a :
.

b. Étudier les limites de la fonction en et en .

c. Calculer la dérivée et dresser le tableau de variations de la fonction sur .

 
Partie B : Étude d'une suite liée aux fonctions

On pose, pour tout entier naturel : .

1. Calculer puis montrer que . En déduire .

2. Démontrer que, pour tout entier : .

3. Calculer l'intégrale : . En déduire que la suite est convergente et préciser sa limite.