GRATUIT!
Cours de maths - Exercices - Méthodes - QCM - Sujets du bac
Inscription gratuite

Accueil » Terminale S » Préparation Bac » Annales Bac

Bac S Amérique du Nord 2009

maths-cours
05/06/2009 - 15:23

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1

5 points - Commun à tous candidats

Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population.

Partie A : Étude de la progression de l'épidémie pendant 30 jours

Au début de l'épidémie on constate que 0,01% de la population est contaminé.

Pour t appartenant à [0; 30], on note y(t) le pourcentage de personnes touchées par la maladie après t jours.

On a donc y(0) = 0,01.

On admet que la fonction y ainsi définie sur [0; 30] est dérivable, strictement positive et vérifie :
y'= 0,05y(10 - y)

1.On considère la fonction z définie sur l'intervalle [0; 30] par z = 1/y.

Démontrer que la fonction y satisfait aux conditions syst(y(0)=0,01;y'=0,05y(10 - y)) si et seulement si la fonction z satisfait aux conditions syst(z(0)=100;z'=- 0,5z + 0,05

2.

a.En déduire une expression de la fonction z puis celle de la fonction y.
b.Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche.

 
Partie B : Étude sur l'efficacité d'un vaccin

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92% des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10% des individus sont malades.

On choisit au hasard un individu dans cette population.

1.Montrer que la probabilité de l'évènement « l'individu n'est pas vacciné et tombe malade » est égale à 0,08.
2.Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n'est pas vacciné ?

 

Exercice 2

5 points - Commun à tous candidats

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :

Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a; b] avec a < b.

  • Si u >= 0 sur [a; b] alors int_a^b u(x)dx >= 0.
  • Pour tous réels alpha et beta, int_a^b [alpha u(x) + beta v(x)]dx = alpha int_a^b u(x)dx+ beta int_a^b v(x)dx.

Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a; b] avec a < b et si, pour tout x de [a; b], f(x) <= g(x) alors int_a^b f(x)dx <= int_a^b g(x)dx.
 

Partie B

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;1] par f(x) = e<sup>-x^2</sup> et on définit la suite (u_n) par :

  • u_0 =int_0^1f(x)dx= int_0^1 e<sup>-x^2</sup>dx
  • pour tout entier naturel n non nul, u<sub>n</sub> = int_0^1 x^n f(x)dx = int_0^1 x^n e<sup>-x^2</sup>dx
1.

a.Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle [0;1], 1/e <= f(x) <= 1.
b.En déduire que 1/e <= u_0 <= 1.
2.Calculer u_1.
3.

a.Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 <= u<sub>n</sub>.
b.Étudier les variations de la suite (u<sub>n</sub>).
c.En déduire que la suite (u<sub>n</sub>) est convergente.
4.

a.Démontrer que, pour tout entier naturel n, u<sub>n</sub> <= (1)/(n+1).
b.En déduire la limite de la suite (u<sub>n</sub>).

 

Exercice 3

5 points - Commun à tous candidats

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.

Bac S Amérique du Nord 2009

On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].
L'espace est rapporté au repère orthonormal (A; vec(AB), vec(AD), vec(AE)).

1.Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère.
2.Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.
3.

a.Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG).
b.Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG).
c.Vérifier que le point D appartient au plan (AKG).
4.Dans cette question, on veut exprimer K comme barycentre des points A, D et G.
Soit L le centre du carré DCGH.

a.Démontrer que le point K est le milieu du segment [AL].
b.Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Démontrer que K est le barycentre des points A. D et G affectés de coefficients que l'on précisera.

 

Exercice 4

5 points - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O; vecu, vecv).

Soit A le point d'affixe a = 1 + isqrt(3) et B le point d'affixe b = 1 - sqrt(3) + (1 + sqrt(3))i.

Partie A : étude d'un cas particulier

On considère la rotation r de centre O et d'angle (2pi)/3.

On note C le point d'affixe c image du point A par la rotation r et D le point d'affixe d image du point B par la rotation r.

La figure est donnée ci-dessous :

Bac S Amérique du Nord 2009 fig1
(figure 1)
1.

a.Exprimer (- a)/(b - a) sous forme algébrique.
b.En déduire que OAB est un triangle rectangle isocèle en A.
2.Démontrer que c = -2. On admet que d = -2 - 2i.
3.

a.Montrer que la droite (AC) a pour équation y = (sqrt(3))/(3)(x+ 2).
b.Démontrer que le milieu du segment [BD] appartient à la droite (AC).

 
Partie B : étude du cas général

Soit theta un réel appartenant à l'intervalle ]0; 2pi[. On considère la rotation r de centre O et d'angle theta.

On note A' le point d'affixe a', image du point A par la rotation r, et B' le point d'affixe b', image du point B par la rotation r.

La figure est donnée ci-dessous :

Bac S Amérique du Nord 2009 fig2
(figure 2)

L'objectif est de démontrer que la droite (AA') coupe le segment [BB'] en son milieu.

1.Exprimer a' en fonction de a et theta et b' en fonction de b et theta.
2.Soit P le point d'affixe p milieu de [AA'] et Q le point d'affixe q milieu de [BB'].

a.Exprimer p en fonction de a et theta puis q en fonction de b et theta.
b.Démontrer que (-p)/(q - p) = (- a)/(b - a).
c.En déduire que la droite (OP) est perpendiculaire à la droite (PQ).
d.Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA').

 

Exercice 4

5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Soit A l'ensemble des entiers naturels de l'intervalle [1 ; 46].

1.On considère l'équation
(E) : 23x + 47y = 1
où x et y sont des entiers relatifs.

a.Donner une solution particulière (x_0, y_0) de (E).
b. Déterminer l'ensemble des couples (x, y) solutions de (E).
c.En déduire qu'il existe un unique entier x appartenant à A tel que 23x == 1 .. (47).
2.Soient a et b deux entiers relatifs.

a.Montrer que si ab == 0 .. (47) alors a == 0 .. (47) ou b == 0 .. (47).
b.En déduire que si a^2 == 1 .. (47) alors a == 1 .. (47) ou a a == -1 .. (47).
3.

a.Montrer que pour tout entier p de A, il existe un entier relatif q tel que p * q == 1 .. (47).
Pour la suite, on admet que pour tout entier p de A, il existe un unique entier, noté `inv`(p), appartenant à A tel que
p * `inv`(p) == 1 .. (47).
Par exemple :
`inv`(1) = 1 car 1 * 1 == 1 .. (47), `inv`(2) = 24 car 2 * 24 == 1 .. (47), `inv`(3) = 16 car 3 * 16 == 1 .. (47).
b.Quels sont les entiers p de A qui vérifient p = `inv`(p) ?
c.Montrer que 46! == -1 .. (47).

site pour les S

Par Anonyme, le mar, 22/09/2009 - 16:55.

Salut ! sympa comme exercice, ca m'a beaucoup servis :)
J'ai trouvé un autre site qui pourrait intéresser tous les bac S, il s'agit de la communauté des Bac S. Si ca peut aider, je vous donne le lien : http://bac-S.net

Dans l'exercice 3, question 4

Par Anonyme, le mar, 16/06/2009 - 19:07.

Dans l'exercice 3, question 4 b). Je ne comprends pas pourquoi on affecte le coefficient 2 à A et L : pourquoi pas k barycentre de (A,1) (L,1)?
Merci

C'est possible

Par maths-cours, le mar, 16/06/2009 - 20:51.

C'est exact de dire que K est barycentre de {(A,1) (L,1)}
En fait on peut dire que K est barycentre de {(A,m) (L,m)} avec n'importe quelle valeur non nulle pour m. Les coefficients ne sont pas définis de façon unique.

Si on a choisi 2 c'est parce que c'est un plus facile par la suite pour utiliser l'associativité du barycentre. Ainsi on peut "remplacer" L affecté du coefficient 2 par le système {(D, 1); (G, 1)}. Si on avait affecté L du coefficient 1 cela aurait fait intervenir des fractions : {(D, 1/2); (G, 1/2)}. Mais c'était également correct (encore une fois les coefficients ne sont pas définis de façon unique donc plusieurs réponses sont valables).

Comment peut-on réponde à

Par Kiruban, le lun, 08/06/2009 - 10:05.

Comment peut-on réponde à cette question "d.Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA')."

???? :(

Démontrer que le point Q appartient à la droite (AA')

Par maths-cours, le lun, 08/06/2009 - 11:58.

Que peut-on dire de la droite (OP) pour le segment [AA']?
Ceci + la question précédente devrait te permettre de conclure.
J'essaierai de poster des éléments de correction pour tous les exercices ce soir.

Contribution

Par Kiruban, le lun, 08/06/2009 - 10:04.

Comment peut-on proposer nos propres corrections? et contribuer à votre site?

Contribution

Par maths-cours, le lun, 08/06/2009 - 12:04.

Les personnes qui souhaitent contribuer au site peuvent me contacter par mail en cliquant sur "Nous contacter" en haut de la page.
Merci d'avance.

Par contre pour les corrigés de cette épreuve, c'est sans doute un peu tard car ils devraient être publiés ce soir. La meilleure façon de participer sera alors de corriger mes fautes ;-)

La dernière question 2.d. de

Par Anonyme, le dim, 07/06/2009 - 19:43.

La dernière question 2.d. de l'exercice 4 obligatoire demande de montrer que le point Q appartient à la droite (AN), le point N n'est jamais mentionné dans l'exercice, je crois qu'on souhaite montrer que le point Q appartient à la droite (AA')

Oui merci!

Par maths-cours, le dim, 07/06/2009 - 22:18.

L'erreur a été corrigée.

Corrigé?

Par Anonyme, le sam, 06/06/2009 - 19:53.

ou trouver le corrigé de ce bac ? en particulier l'exercice de spé question 3a ?
merci

pour la 3.a. tu peux dire que

Par Anonyme, le dim, 07/06/2009 - 20:01.

pour la 3.a. tu peux dire que puisque p est dans A, il est premier avec 47 (car 47 premier). Tu conclus en utilisant l'identité de Bézout

Corrigé

Par maths-cours, le dim, 07/06/2009 - 11:39.

J'essaierai de poster un début de corrigé en début de semaine prochaine mais en ce moment je suis un peu débordé...
Ceux qui le souhaite peuvent poster des indications ou des solutions en commentaires.

P.S. Pour le 3.a. spé il faut utiliser le th. de Bezout sachant que 47 est premier donc 47 et p sont premiers entre eux.

corrigé

Par Anonyme, le sam, 06/06/2009 - 12:41.

a quand le corrigé de la spé?

Un mec a fait le corrigé de

Par Anonyme, le dim, 07/06/2009 - 23:19.

Un mec a fait le corrigé de la spé :
*** Pas de liens externes dans les commentaires ***

Liens externes

Par maths-cours, le dim, 07/06/2009 - 23:46.

Les liens externes sont interdits dans les commentaires.
Mais avec un bon moteur de recherche... ;-)

bac amerique du nord 2009

Par Anonyme, le lun, 08/06/2009 - 19:18.

comment prouve t on que le triangle OAB est rectangle isocele ds l'exercice 4question 1)b

voir le corrigé

Par maths-cours, le lun, 08/06/2009 - 20:26.

Il y a maintenant un corrigé très succinct (mais qui devrait t'aider) en ligne.


Partenaires : Annuaire cours particuliers - Cours particuliers de mathématiques - Cours de maths
Copyright 2007-2009 - Maths-cours.fr