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Aires et intégrales

Objectifs de ce chapitre

connaître la définition et la condition d'existence une intégrale
savoir calculer une intégrale à l'aide d'une primitive
savoir interpréter graphiquement une intégrale en terme d'aire
connaître les propriétés relatives aux comparaisons d'intégrales
connaître et savoir utiliser la relation de Chasles
connaître et savoir utiliser les propriétés de linéarité de l'intégrale
savoir calculer la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
savoir calculer une intégrale à l'aide d'une intégration par parties
savoir calculer la valeur approchée d'une intégrale par la méthode des rectangles ou des trapèzes

1. Intégrale d'une fonction

Définition

Soit une fonction continue sur un intervalle [a;b] et une primitive de sur [a;b] .
L'intégrale de à de est le nombre réel noté int_a^bf(x)dx défini par:
int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

Remarque

L'intégrale ne dépend pas de la primitive de choisie.
En effet si est une autre primitive de , on a G=F+k donc :
G(b)-G(a)=F(b)+k-(F(a)+k)=F(b)-F(a)

Notations

On note souvent : F(b)-F(a)=[[F(x)]]_a^b
On a avec cette notation :
int_a^bf(x)dx=[[F(x)]]_a^b

Exemple

La fonction définie par F(x)=(x^3)/3 est une primitive de la fonction carré.
On a donc :
int_0^1x^2dx=[[(x^3)/3]]_0^1=1/3-0/3=1/3

2. Propriétés de l'intégrale

Propriété

Relation de Chasles
Soit une fonction continue sur [a;b] et c in [a;b] .
int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx

Propriété

Linéarité de l'intégrale
Soit et deux fonctions continues sur [a;b] et lambda in RR .

Propriété

Comparaison d'intégrales
Soit et deux fonctions continues sur [a;b] telles que f>=g sur [a;b] .
int_a^bf(x)dx>=int_a^bg(x)dx

Remarque

En particulier, en prenant pour la fonction nulle on obtient si f(x)>=0 sur [a;b] :
int_a^bf(x)dx>=0

3. Interprétation graphique

Définition

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O,veci,vecj) .
On appelle unité d'aire (u.a.) l'aire d'un rectangle dont les côtés mesurent ||veci|| et ||vecj|| .

Unité d'aire

Propriété

Si est une fonction continue et positive sur [a;b] , alors l'intégrale int_a^bf(x)dx est l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par :

la courbe
l'axe des abscisses
les droites (verticales) d'équations et

Exemple

Intégrale de f entre 1 et 3

L'aire colorée ci-dessus est égale (en unités d'aire) à int_1^3f(x)dx

Remarques

Si est négative sur , la propriété précédente appliquée à la fonction montre que est égale à l'opposé de l'aire délimitée par la courbe , l'axe des abscisses, les droites d'équations et
Si le signe de varie sur , on découpe en sous-intervalles sur lesquels garde un signe constant.