Graphes : Généralités
1. Vocabulaire
Définition
Un graphe est composé de sommets et d'arêtes (ou arcs) reliant certains de ces sommets.
Exemple
Le diagramme ci-dessous représente un graphe comportant 4 sommets et 5 arêtes.
Graphe (non orienté)
Définitions
- L'ordre d'un graphe est le nombre de sommets de ce graphe.
- Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité.
- Deux sommets reliés par une arête sont adjacents.
Exemple
- Le graphe représenté ci-dessus est d'ordre 4.
- Le degré du sommet B est 3. Celui de C est 4 (la boucle compte 2 fois).
- A et B sont adjacents. A et D ne le sont pas.
Définitions
Une chaîne (ou un chemin) est une suite de sommets telle que chaque sommet est relié au suivant par une arête.
La longueur d'une chaîne est le nombre d'arêtes composant cette chaîne.
Exemple
Chaine
(A; B; C; D) est une chaîne de longueur 3.
Définition
Un cycle est une chaîne fermée (c'est à dire dont l'origine et l'extrémité sont identiques) dont toutes les arêtes sont distinctes.
Exemple
Cycle
(B; C; C; D; B) est un cycle.
Définition
On dit qu'un graphe est connexe si deux sommets quelconques peuvent être reliés par une chaîne.
Remarque
Intuitivement, cela signifie que le graphe comporte un seul "morceau"
Exemple
2. Chaînes et cycles eulériens
Définition
Une chaîne eulérienne est une chaîne qui contient une fois et une seule chacune des arêtes du graphe.
Si cette chaîne est un cycle, on parle de cycle eulérien.
Exemple
Chaîne eulérienne
(A; B; C; C; D; B) est une chaîne eulérienne.
Ce graphe ne contient aucun cycle eulérien.
Remarque
- Un graphe connexe contient une chaîne eulérienne si et seulement si on peut le tracer "sans lever le crayon". Le théorème d'Euler (ci-dessous) permet de déterminer facilement ce type de graphe.
- On ne peut jamais tracer un graphe non connexe sans lever le crayon !
Théorème
Théorème d'Euler.
Un graphe connexe contient une chaîne eulérienne si et seulement si il possède 0 ou 2 sommets de degré impair.
Un graphe connexe contient un cycle eulérien si et seulement si il ne possède aucun sommet de degré impair (autrement dit tous ses sommets sont de degré pair)
Exemple
Théorème d'Euler
- Dans l'exemple 1, il y a deux sommets de degré impair (A:1 et B:3). Le graphe contient une chaîne eulérienne, par exemple (A; B; C; C; D; B) mais pas de cycle eulérien.
- Dans l'exemple 2, il y a deux sommets de degré impair (A:3 et E:3). Le graphe contient une chaîne eulérienne, par exemple (A; F; D; B; F; E; D; C; B; A; E) mais pas de cycle eulérien.
- Dans l'exemple 3, il y a 4 sommets de degré impair (A:3, B:3, D:3 et E:3). Le graphe ne contient pas de chaîne eulérienne.
- Dans l'exemple 4, tous les sommets sont de degré pair . Le graphe contient un cycle eulérien, par exemple: (G; A; H; F; I; C; J; D; K; B; L; E; G; H; I; J; K; L; G).
3. Coloration d'un graphe
Définition
Colorier un graphe c'est associer à tout sommet une couleur telle que deux sommets adjacents n'aient pas la même couleur.
Le plus petit nombre de couleurs nécessaire pour colorier un graphe s'appelle le nombre chromatique du graphe.
Exemple
Coloration d'un graphe
Le graphe ci-dessus a été colorié a l'aide de 3 couleurs différentes. Il n'est pas possible de le colorier avec seulement 2 couleurs. Le nombre chromatique du graphe est donc 3.
Théorème
Le nombre chromatique d'un graphe est inférieur ou égal à 
où 
est le plus grand degré des sommets.
Exemple
Dans l'exemple précédent le plus grand degré est 4. Le nombre chromatique du graphe est donc inférieur ou égal à 5 (On a vu que c'était 3).