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Fonction exponentielle

Théorème et Définition

Il existe une unique fonction f dérivable sur RR telle que f'=f et f(0)=1
Cette fonction est appelée fonction exponentielle (de base e) et notée exp ou x|->e^x.

Théorème

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Cela signifie que pour tout réel x et tout réel y>0:
x=ln\ y \ <=>\ e^x=y

Propriété

La fonction exponentielle est strictement croissante sur RR.

Propriétés

Limites :

  • lim(x->-oo)e^x = 0
  • lim(x->+oo)e^x = +oo
Tableau de variation de la fonction exponentielle
Tableau de variation de la fonction exponentielle
Représentation graphique de la fonction exponentielle
Représentation graphique de la fonction exponentielle

Théorème

Formes indéterminées :

  • lim(x->-oo)xe^x = 0
  • lim(x->+oo)(e^x)/x = +oo
  • lim(x->0)(e^x-1)/x = 1

Théorème

Si a et b sont 2 réels :

  • e^a= e^b si et seulement si a=b
  • e^a< e^b si et seulement si a < b

Théorème

Si a et b sont 2 réels et si n in ZZ :

  • e^(a+b)= e^a * e^b
  • e^(a-b)= (e^a)/(e^b)
  • (e^a)^n= e^(na)
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Exercices

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