Bac ES Métropole 2009

Exercice 1

4 points - Commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'indice des prix de vente des appartements anciens à Paris au quatrième trimestre des années 2000 à 2007.

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Rang de l'année :	0	1	2	3	4	5	6	7
Indice :	100	108,5	120,7	134,9	154,8	176,4	193,5	213,6

2.Construire le nuage de points dans le plan (P) muni d'un repère orthogonal défini de la manière suivante :

. sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 2cm pour représenter une année.

. sur l'axe des ordonnées, on placera 100 à l'origine et on choisira 1cm pour représenter 10unités.

4.L'allure de ce nuage permet de penser qu'un ajustement affine est adapté.

a. À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite (d) d'ajustement de en , obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.

b.Tracer la droite (d) dans le plan (P).

Exercice 2

5 points - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [- 2; 5], décroissante sur chacun des intervalles [-2;0] et [2; 5] et croissante sur l'intervalle [0;2].

On note sa fonction dérivée sur l'intervalle [- 2; 5].

La courbe représentative de la fonction est tracée en annexe 1 dans le plan muni d'un repère orthogonal. Elle passe par les points A(- 2; 9), B(0; 4), C(1;4,5), D(2;5) et E(4; 0).

En chacun des points B et D. la tangente à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses.

On note F le point de coordonnées (3;6).

La droite (CF) est la tangente à la courbe au point C.

1. À l'aide des informations précédentes et de l'annexe 1, préciser sans justifier :

a. les valeurs de , et .

b. le signe de suivant les valeurs du nombre réel de l'intervalle .

c. le signe de suivant les valeurs du nombre réel de l'intervalle .

2. On considère la fonction définie par où désigne la fonction logarithme népérien.

a. Expliquer pourquoi la fonction est définie sur l'intervalle .

b. Calculer et .

c. Préciser, en le justifiant, le sens de variations de la fonction sur l'intervalle .

d. Déterminer la limite de la fonction lorsque tend vers 4.

Interpréter ce résultat pour la représentation graphique de la fonction .

e. Dresser le tableau de variations de la fonction .

Exercice 2

5 points - Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le graphe ci-dessous représente le plan d'une ville.

Le sommet A désigne l'emplacement des services techniques.

Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les emplacements de jardins publics. Une arête représente l'avenue reliant deux emplacements et est pondérée par le nombre de feux tricolores situés sur le trajet.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I

On s'intéresse au graphe non pondéré.

Partie II

On s'intéresse au graphe pondéré.
Proposer un trajet comportant un minimum de feux tricolores reliant A à G.
La réponse sera justifiée par un algorithme.

Exercice 3

5 points - Commun à tous les candidats

Une salle de jeu comporte deux consoles identiques proposant le même jeu.
Un jour l'une des deux est déréglée.
Les joueurs ne peuvent savoir laquelle des deux est déréglée.

1. Ce jour-là, un joueur choisit au hasard l'une des deux consoles et il joue une partie sur cette console.
On note :

. l'événement " le joueur choisit la console déréglée " et l'événement contraire ;

. l'événement " le joueur gagne la partie " et l'événement contraire.

Cette situation aléatoire est modélisée par l'arbre incomplet suivant, dans lequel figure certaines probabilités.

Ainsi, 0,7 est la probabilité que le joueur gagne sachant qu'il a choisi une console déréglée.

a. Reproduire cet arbre sur la copie et le compléter.

b. Calculer la probabilité de l'événement " le joueur choisit la console déréglée et il gagne ".

c. Calculer la probabilité de l'événement " le joueur choisit la console non déréglée et il gagne ".

d. Montrer que la probabilité que le joueur gagne est égale à 0,45.

e. Calculer la probabilité que le joueur ait choisit la console déréglée sachant qu'il a gagné.

Exercice 4

6 points - Commun à tous les candidats

Partie A : Étude d'une fonction

On considère la fonction définie sur l'intervalle [0,5; 8] par

On note la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle [0,5; 8]

1.

a. Démontrer que pour tout nombre réel de l'intervalle [0,5; 8]

b. Étudier le signe de la fonction sur l'intervalle [0,5; 8] et en déduire le tableau de variations de la fonction .

2. Construire la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthogonal (O; veci, vecj).

On prendra pour unités graphiques 2cm sur l'axe des abscisses et 1cm, sur l'axe des ordonnées.

3. Justifier que la fonction définie sur l'intervalle [0,5; 8] par est une primitive de la fonction sur l'intervalle [0,5; 8].

4. Calculer la valeur exacte de l'intégrale .

Partie B : Application économique

Une entreprise produit sur commande des bicyclettes pour des municipalités.

La production mensuelle peut varier de 50 à 800 bicyclettes.

Le bénéfice mensuel réalisé par cette production peut être modélisé par la fonction de la partie A de la façon suivante :

si, un mois donné, on produit centaines de bicyclettes, alors modélise le bénéfice, exprimé en milliers d' euros, réalisé par l'entreprise ce même mois.

Dans la suite de l'exercice, on utilise ce modèle.