Bac ES Métrople 2007

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Exercice 1

(4 points) - Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée

Notation : une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

1. Pour tout nombre réel et pour tout nombre réel , on peut affirmer que est égal à :

Réponse A :
Réponse B :
Réponse C :

2. On considère trois fonctions , et définies sur telles que, pour tout nombre réel , .

Si l'on sait que alors on peut en déduire que :
Réponse A :
Réponse B :
Réponse C :

3. On considère une fonction définie et dérivable sur , de dérivée . On donne ci-dessous son tableau de variations.

a. L'équation admet dans :
Réponse A : trois solutions
Réponse B : deux solutions
Réponse C : une solution

b. On note la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère .
La tangente à la courbe au point d'abscisse O peut avoir pour équation :
Réponse A :
Réponse B :
Réponse C :

Exercice 2

(5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A
Dans un pays européen, le montant des recettes touristiques, exprimé en millions d'euros, est donné dans le tableau ci-dessous :

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Rang de l'année	0	1	2	3	4	5
Recettes touristiques , en millions d'euros	24 495	26 500	29 401	33 299	33 675	34 190

1. On utilise un ajustement affine. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de en , obtenue par la méthode des moindres carrés.
Les coefficients, obtenus à l'aide de la calculatrice, seront arrondis au centième.

Partie B
On considère la fonction définie pour tout entier n par .
On utilise cette fonction pour modéliser l'évolution des recettes touristiques de ce pays européen.
Ainsi représente le montant des recettes touristiques (exprimé en millions d'euros) de ce pays européen pour l'année .

2.

a. Déterminer le nombre entier à partir duquel .

b. En déduire l'année à partir de laquelle, selon ce modèle le montant des recettes touristiques dépasserait 45 000 millions d'euros.

Exercice 2

(5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

La production journalière d'une entreprise dépend de deux facteurs : le travail de la main d'oeuvre et l'utilisation de machines. On désigne :

• par la durée journalière de travail de la main d'oeuvre, exprimée en heures ; appartient à l'intervalle ]0 ; 10]
• par la durée journalière d'utilisation des machines, exprimée en heures ; appartient à l'intervalle ]0 ; 12]

La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation :
avec et .
La figure ci-dessous représente la surface(S) d'équation : pour et .

Partie 1
Le point A représenté par une croix est un point de la surface (S).

Partie 2
Pour chaque heure, le coût total du travail s'élève à 4 milliers d'euros, et le coût total d'utilisation des machines s'élève à 1 millier d'euros.
L'entreprise décide de dépenser 36 milliers d'euros par jour et cherche à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a alors .
La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; 10] par .

1. On note g' la fonction dérivée de g sur l'intervalle ]0 ; 10].

a. Pour tout réel de l'intervalle ]0 ; 10], calculer et montrer que

b. Etudier les variations de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; 10].

Exercice 3

(5 points) - Commun à tous les candidats

Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s'entraîne sur un site internet.
40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30 % sont de niveau moyen et 30 % de niveau difficile.
Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60% des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40% des cas.

Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.

On considère les événements suivants :
F : "la grille est de niveau facile"
M : "la grille est de niveau moyen"
D : "la grille est de niveau difficile"
R : "Pierre réussit la grille" et son événement contraire.

Exercice 4

(6 points) - Commun à tous les candidats
Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.

Partie I : étude des coûts hebdomadaires de production.

1. Le coût marginal de production est fonction de la quantité de médicament produit.
Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction définie pour les nombres réels de l'intervalle [0 ; 10] par : .
est exprimé en centaines d'euros, en kilogrammes).
Etudier les variations de la fonction , puis dresser le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle [0 ; 10].

2. En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production.
Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction .
Déterminer la fonction , primitive de la fonction sur l'intervalle [0 ; 10] qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre 0 et 10 kilogrammes, sachant que .

Partie II : étude du bénéfice hebdomadaire.
On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d'au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu.
Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d'euros) dépend de la masse (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [1 ; 10] par :

La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d'un repère orthonormal est la courbe donnée ci-dessous.

2.

a. Utiliser la courbe pour déterminer un encadrement d'amplitude 0,5 de la plus petite quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent.

b. Utiliser la calculatrice pour donner une valeur décimale de approchée au centième.