Bac ES Liban - 2008

Durée de l'épreuve : 3 heures

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 4 pages numérotées de 1 à 4.

Exercice 1

4 points - Commun à tous les candidats

Soit une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [- 4 ; 6]. On note sa fonction dérivée. La courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal est tracée ci-dessous ainsi que la droite d'équation . La courbe et la droite se coupent au point E d'abscisse 2.
On sait par ailleurs que :

• la courbe admet des tangentes parallèles à l'axe des abscisses aux points B (-2 ; 6,5) et C(1 ; 1,75),
• la droite (EF) est la tangente à la courbe au point E ; F est le point de coordonnées (4 ; 3)

1.Dans cette question, déterminer par lecture graphique et sans justification :

a.les valeurs de et ;

b.les valeurs de x dans l'intervalle [- 4 ; 6] vérifiant ;

c.les valeurs de x dans l'intervalle [- 4 ; 6] vérifiant .

2.Soit la fonction définie sur ]- 4 ; 6] par . Déterminer par lecture graphique et avec justification :

a.les variations de ;

b.la limite de la fonction g quand x tend vers - 4.

3.Encadrement d'une intégrale

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.

a.Soit l'intégrale . Interpréter graphiquement .

b.Proposer un encadrement de l'intégrale par deux nombres entiers consécutifs. Justifier.

Exercice 2

5 points - Candidats n 'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un club de remise en forme propose, outre l'accès aux salles de musculation, des cours collectifs pour lesquels un supplément est demandé lors de l'inscription. Une fiche identifie chaque membre et son type d'abonnement : avec ou sans cours collectif.
Une étude sur les profils des membres de ce club a montré que :
40 % des membres sont des hommes.
65 % des membres sont inscrits aux cours collectifs.
Parmi les femmes, membres de ce club, seulement 5 % ne sont pas inscrites aux cours collectifs.
On choisit une fiche au hasard et on considère les événements suivants :

• H : « la fiche est celle d'un homme »,
• F : « la fiche est celle d'une femme »,
• C : « la fiche est celle d'un membre inscrit à des cours collectifs ».

Rappel de notation : Si A et B sont deux événements donnés, désigne la probabilité de A et désigne la probabilité conditionnelle de A sachant B.

1. Donner les probabilités suivantes : , , et les reporter sur un arbre pondéré modélisant la situation qui sera complété au cours de la résolution de l'exercice.

2.

a.Déterminer .

b.Montrer que .

c.On tire la fiche d'un homme, quelle est la probabilité que celui-ci soit inscrit aux cours collectifs ?

d.Compléter l'arbre pondéré de la question 1.

Exercice 3

7 points - Commun à tous les candidats

Partie A : Etude d'une fonction

On considère la fonction définie sur par : .
On note f' sa fonction dérivée et on admet que, pour tout x de , on a :
.

1.Étudier le sens de variation de la fonction sur .

2.Démontrer que la fonction définie sur par est une primitive de / sur ce même intervalle.

3.Calculer l'intégrale ; on donnera la valeur arrondie à 0,01 près.

Partie B : Applications économiques

La fonction de demande d'un produit informatique est modélisée par la fonction étudiée dans la partie a. Le nombre représente la quantité demandée, exprimée en milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à x centaines d'euros.

3.L'élasticité E(x) de la demande par rapport au prix x est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de 1% de x. On admet qu'une bonne approximation de E(x) est donnée par :
E(x) =

a.Démontrer que E(x) =

b.Déterminer le signe de E(x) sur et interpréter ce résultat.

c.Calculer le prix pour lequel l'élasticité est égale à - 3,5. Comment évolue la demande lorsque le prix passe de 800 à 808 euros ?

Exercice 4

4 points - Commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne la production d'électricité d'origine nucléaire en France, exprimée en milliards de kWh, entre 1979 et 2004.
Les rangs des années sont calculés par rapport à l'année 1975.

Année	1979	1985	1990	1995	2000	2001	2002	2003	2004
Rang de l'année	4	10	15	20	25	26	27	28	29
Production	37,9	213,1	297,9	358,8	395,2	401,3	416,5	420,7	427,7

Source : site Internet ministère de l'industrie

Ces données sont représentées par le nuage de points ci-dessous :

A - Recherche d'un ajustement affine

B - Un autre modèle

Compte tenu de l'allure du nuage de points, on choisit un ajustement logarithmique et on modélise la production d'électricité nucléaire par la fonction f définie pour tout x de par :
.

2.

a.Résoudre dans l'inéquation .

b.Avec ce modèle, en quelle- année peut-on prévoir que la production d'énergie nucléaire dépassera 460 milliards de kWh ?