Bac ES Centres étrangers 2009

Exercice 1

4 points - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions proposées, une seule des trois réponses A, B et C est exacte. Recopier le numéro de chaque question et, en face de celui-ci, indiquer la lettre (A, B ou C) désignant la réponse qui convient. Aucune justification n'est demandée.

Barème: Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point. Une question sans réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

1. est égale à :
Réponse A : .
Réponse B : .
Réponse C : .

2. On considère une fonction définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle . On note sa fonction dérivée.
On considère la fonction définie pour tout nombre réel appartenant à par : . Si l'on suppose que est négative sur alors :
Réponse A: on ne peut pas déterminer le sens de variation de la fonction .
Réponse B : la fonction est décroissante sur .
Réponse C : la fonction est croissante sur .

3. Dans l'intervalle , l'ensemble des solutions de l'inéquation est :
Réponse A :
Réponse B : .
Réponse C : .

4. Dans , l'équation :
Réponse A : admet une unique solution.
Réponse B : admet exactement deux solutions.
Réponse C : n'admet aucune solution.

Exercice 2

5 points - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un collectionneur de pièces de monnaie a observé que ses pièces peuvent présenter au maximum deux défauts notés et . Il prélève au hasard une pièce dans sa collection.

On note l'évènement : " Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défaut ".
On note l'évènement : " Une pièce prélevée au hasard dans la collection présente le défaut ".
On note et les évènements contraires respectifs de et .

On donne les probabilités suivantes : ; et .

Dans cet exercice, toutes les valeurs approchées des résultats demandés seront arrondies au centième.

Première partie

2. Les évènements et sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

4. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui présentent le défaut . Calculer la probabilité que cette pièce présente également le défaut .

5. Le collectionneur prélève au hasard une pièce parmi celles qui ne présentent pas le défaut . Calculer la probabilité que cette pièce présente le défaut .

 
Deuxième partie

On prélève au hasard trois pièces dans la collection et on suppose que le nombre de pièces de la collection est suffisamment grand pour considérer ces trois prélèvements comme étant indépendants.

Exercice 2

5 points - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Chaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularité d'un même groupe politique dans l'opinion publique. Les personnes sondées sont, soit favorables, soit défavorables à ce groupe. Initialement, il y a autant de personnes favorables à ce groupe politique que de personnes qui lui sont défavorables. De chaque mois au mois suivant, on considère que :

On note, pour tout entier naturel ;

. , la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de mois soit favorable à ce groupe politique.

. , la probabilité qu'une personne interrogée au hasard au bout de mois ne soit pas favorable à ce groupe politique.

. , la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de mois.

 
On note la matrice de transition telle que, pour tout entier naturel : .

Première partie

1. Déterminer la matrice donnant l'état probabiliste initial.

3. On admet que .
Déterminer la matrice en détaillant les calculs, (on donnera les coefficients sous forme décimale arrondie au centième).

 
Deuxième partie

1. Montrer que pour tout entier naturel .

2. On considère la suite telle que pour tout entier naturel .

3. Démontrer que la suite est géométrique de raison .

4. En déduire que pour tout entier naturel .

5. Calculer la limite de quand tend vers . Comment peut-on interpréter cette limite ? En quoi ce résultat est-il cohérent avec celui demandé à la question 4. de la première partie.

Exercice 3

6 points - Commun à tous les candidats

Une exploitation minière extrait un minerai rare dans ses gisements depuis l'année 1963.
Le tableau suivant indique la quantité extraite en tonnes durant l'année désignée par son rang :

Année	1963	1968	1973	1978	1983	1988	1993	1998	2003	2008
Rang de l'année	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Quantité extraite en tonnes	18,1	15,7	13,3	11	9,3	7,8	7,1	6,1	5,2	4,3

Le nuage de points associé à cette série statistique à deux variables est représenté dans le repère orthogonal (O ; I, J) de l'annexe 1. Les unités graphiques de ce repère sont 1cm en abscisse et 0,5cm en ordonnée.
Dans cet exercice, on désigne par la variable la quantité extraite en tonnes et par la variable le rang de l'année.

Première partie

En première approximation, on envisage de représenter en tant que fonction affine de .

La droite d'ajustement affine de en obtenue par la méthode des moindres carrés admet pour équation dans laquelle les deux coefficients sont des valeurs arrondies au dixième.

2. Tracer la droite dans le repère de l'annexe 1.

 
Deuxième partie

On admet que la courbe tracée en annexe 1 représente un ajustement exponentiel de en fonction de et que son équation est de la forme où est un entier naturel et un nombre réel.

2. En supposant que la courbe passe parles points A(0; 18) et B(3; 11,2), calculer l'entier naturel et le réel dont on donnera une valeur approchée arrondie au centième.

 
Troisième partie

On effectue le changement de variable et on pose .

1. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant une valeur approchée de chaque résultat arrondie au centième :
 

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

2. À l'aide de la calculatrice et en donnant une valeur approchée de chaque coefficient arrondie au centième, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de en obtenue par la méthode des moindres carrés.

3. En déduire l'expression de en fonction de sous la forme et retrouver ainsi, en arrondissant au dixième, les coefficients et calculés à la question 2. de la deuxième partie.

Exercice 4

5 points - Commun à tous les candidats

On considère la fonction définie sur par

On désigne par la fonction dérivée de et par la primitive de sur qui vérifie .

Dans le repère orthonormal d'unité 2cm de l'annexe 2, la courbe tracée représente la fonction et la droite est sa tangente au point .

Première partie

1. La courbe admet pour asymptotes en la droite d'équation et en la droite d'équation . En déduire et .

2. Démontrer que, pour tout nombre réel .

3. Etudier le signe de suivant les valeurs de et en déduire le sens de variation de sur .

4. En utilisant le résultat de la question 2., déterminer une équation de la droite .

 
Deuxième partie

1. Pour tout réel , exprimer en fonction de .

2. Vérifier que .

3. Sur l'annexe 2, le domaine grisé est délimité par la courbe , les axes de coordonnées et la droite d'équation .
Calculer l'aire, en unités d'aire, de ce domaine et en donner une valeur approchée arrondie au dixième.