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Aires et intégrales

1. Intégrale d'une fonction

Définition

Soit une fonction continue sur un intervalle [a;b] et une primitive de sur [a;b] .
L'intégrale de à de est le nombre réel noté int_a^bf(x)dx défini par:
int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

Remarque

L'intégrale ne dépend pas de la primitive de choisie.
En effet si est une autre primitive de , on a G=F+k donc :
G(b)-G(a)=F(b)+k-(F(a)+k)=F(b)-F(a)

Notations

On note souvent : F(b)-F(a)=[[F(x)]]_a^b
On a avec cette notation :
int_a^bf(x)dx=[[F(x)]]_a^b

Exemple

La fonction définie par F(x)=(x^3)/3 est une primitive de la fonction carré.
On a donc :
int_0^1x^2dx=[[(x^3)/3]]_0^1=1/3-0/3=1/3

2. Propriétés de l'intégrale

Propriété

Relation de Chasles
Soit une fonction continue sur [a;b] et c in [a;b] .
int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx

Propriété

Linéarité de l'intégrale
Soit et deux fonctions continues sur [a;b] et lambda in RR .

Propriété

Comparaison d'intégrales
Soit et deux fonctions continues sur [a;b] telles que f>=g sur [a;b] .
int_a^bf(x)dx>=int_a^bg(x)dx

Remarque

En particulier, en prenant pour la fonction nulle on obtient si f(x)>=0 sur [a;b] :
int_a^bf(x)dx>=0

3. Interprétation graphique

Définition

Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O,veci,vecj) .
On appelle unité d'aire (u.a.) l'aire d'un rectangle dont les côtés mesurent ||veci|| et ||vecj|| .

Unité d'aire

Propriété

Si est une fonction continue et positive sur [a;b] , alors l'intégrale int_a^bf(x)dx est l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par :

la courbe
l'axe des abscisses
les droites (verticales) d'équations et

Exemple

Intégrale de f entre 1 et 3

L'aire colorée ci-dessus est égale (en unités d'aire) à int_1^3f(x)dx

Remarques

Si est négative sur , la propriété précédente appliquée à la fonction montre que est égale à l'opposé de l'aire délimitée par la courbe , l'axe des abscisses, les droites d'équations et
Si le signe de varie sur , on découpe en sous-intervalles sur lesquels garde un signe constant.