Généralités sur les vecteurs
Objectifs de ce chapitre
- savoir ce qu'est un vecteur, sa direction, son sens, sa norme
- savoir montrer qu'un point est le milieu d'un segment en utilisant des vecteurs
- savoir montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme en utilisant des vecteurs
- connaître la relation de Chasles
- savoir simplifier des expressions vectorielles à l'aide de la relation de Chasles
- savoir construire la somme et la différence de deux vecteurs
1. Notion de vecteur
Définition
Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur.
Remarque
Le mot direction désigne la direction de la droite qui "porte" ce vecteur; le mot sens permet de définir un sens de parcours sur cette droite parmi les deux possibles.
Exemple
Les vecteurs 
et 
ont la même direction, le même sens, la même longueur. Ils sont égaux. On dit aussi que et sont deux représentants du même vecteur.
Remarque
Pour nommer un vecteur on peut :
- utiliser l'origine et l'extrémité d'un représentant du vecteur : on parlera du vecteur
- lui donner un nom à l'aide d'une lettre (en générale minuscule) : on parlera alors du vecteur
Définition
, 
, ... représentent un même vecteur de longueur nulle appelé vecteur nul et noté 
.
Remarque
Le vecteur nul est assez particulier. En effet, contrairement aux autres vecteurs, il n'a ni direction, ni sens! Mais il intervient souvent dans les calculs.
Définition
La longueur d'un vecteur s'appelle sa norme et se note 
.
Remarque
On a donc 
.
Propriété
est le milieu du segment ![[AB]](/files/formules/f_5e32d4dbe98ef3af1b5123ccba43cbf7.gif)
si et seulement si 
.
Remarque
On rappelle que l'égalité de distance 
est insuffisante pour montrer que est le milieu de (cette égalité montre seulement que M est équidistant de 
et 
c'est à dire est sur la médiatrice de ). L'égalité de vecteurs , par contre, suffit à montrer que est le milieu de .
Propriété
Le quadrilatère 
est un parallélogramme si et seulement si 
.
Vecteurs et parallélogramme
Remarques
- Attention à l'inversion des points
et 
dans l'égalité - Avec cette propriété, il suffit de prouver une seule égalité pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme. C'est une méthode plus puissante que celles vues en 4ème qui nécessitaient de démontrer deux propriétés (double parallélisme ou parallélisme et égalité de longueurs, etc.)
2. Addition de vecteurs
On définit l'addition de deux vecteurs à l'aide de la relation de Chasles:
Propriété
Pour tous points , et du plan : 
(Relation de Chasles)
Relation de Chasles
Pour appliquer la relation de Chasles, il faut que l'extrémité du premier vecteur coïncide avec l'origine du second. Pour additionner deux vecteurs qui ne sont pas dans cette configuration, on "reporte l'un des vecteurs à la suite de l'autre".
Exemple
Pour tracer la somme des vecteurs et on reporte le vecteur à la suite du vecteur ; cela donne le vecteur 
qui est égal au vecteur . On applique alors la relation de Chasles : 
. La somme cherchée peut donc être représentée par le vecteur 
Cas particulier
Si les vecteurs à additionner, ont la même origine, la méthode précédente aboutit à la construction d'un parallélogramme (ABDC) :
Propriété et définition
Pour tout point et du plan : 
On dit que les vecteurs et 
sont opposés et l'on écrit 
Remarque
Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même longueur et des sens contraires.
Conséquence
On peut donc définir la différence de 2 vecteurs par :
