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Ordre et intervalles

Théorème

Soit a un nombre réel :

  • Si 0 <= a <= 1, alors a^3 <= a^2 <= a
  • Si a >= 1, alors a <= a^2 <= a^3

Définition

L'intervalle ouvert ]a; b[ est l'ensemble des réels x tels que a < x < b.
L'intervalle fermé [a; b] est l'ensemble des réels x tels que a <= x <= b.

Exemples

  • L'intervalle fermé [-1;2] est l'ensemble des réels x tels que -1 <= x <= 2. On représente cet intervalle sur l'axe des réels de la façon suivante:
    Intervalle fermé
    Intervalle fermé
  • On peut également définir des intervalles semi-ouverts Par exemple, l'intervalle [-1;2[ fermé à gauche et ouvert à droite est l'ensemble des réels x tels que -1 <= x < 2. On le représente ainsi :
    Intervalle semi-ouvert
    Intervalle semi-ouvert

Définition

L'intervalle [a; +oo[ est l'ensemble des réels x tels que x >= a.
L'intervalle ]-oo; a] est l'ensemble des réels x tels que x <= a.

Remarques

  • On définit de la même façon les intervalles ouverts en a de la forme ]a; +oo[ ou ]-oo; a[
  • L'intervalle est toujours ouvert en +oo et en -oo. En effet, un nombre réel ne peut pas être égal à +oo ou à -oo
  • L'intervalle ]-oo; +oo[ est l'ensemble RR de tous les réels.

Exemple

L'intervalle ]1;+oo[ est l'ensemble des réels x tels que x >1. On le représente ainsi :

Borne infinie
Borne infinie
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Exercices

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