Inéquations
Théorème
- Si l'on ajoute ou si l'on soustrait un même nombre à chaque membre d'une inéquation, on obtient une inéquation équivalente (c'est à dire qui à les mêmes solutions).
- Si l'on multiplie ou si l'on divise chaque membre d'une inéquation par un même nombre strictement positif, on obtient une inéquation équivalente.
- Si l'on multiplie ou si l'on divise chaque membre d'une inéquation par un même nombre strictement négatif, on obtient une inéquation équivalente en changeant le sens de l'inégalité.
Exemple
Pour résoudre l'inéquation 
on soustrait 5 à chaque membre de l'inéquation:
c'est à dire 
.
Puis comme -3 est négatif on divise chaque membre par -3 en changeant le sens de l'inégalité :
Donc ![S=]-oo;5/3[](/files/formules/f_cdb3be0860c7965f9f989f052feff441.gif)
Remarques
En appliquant le théorème précédent à l'expression ax+b on obtient le tableau de signe suivant :
Théorème
(Inéquation produit)
Un produit de facteurs 
est positif ou nul si et seulement si les deux facteurs 
et 
sont de même signe.
Ce produit est négatif ou nul si et seulement si les deux facteurs et sont de signes contraires.
Remarques
Lorsqu'on à affaire à une inéquation du second degré (ou plus), on fait "passer" tous les termes dans le membre de gauche que l'on essaie de factoriser et on utilise un tableau de signe.
Exemple
Soit l'inéquation 
Le signe de 
est donné par le tableau:
Le signe de 
est donné par le tableau:
On regroupe ces résultats dans un unique tableau et on utilise la règle des signes pour obtenir le signe du produit:
est positif ou nul sur l'intervalle ![[4/3; 5]](/files/formules/f_be12b4955a731d9d515e26bac1655f64.gif)
Théorème
(Inéquation quotient)
Un quotient 
est défini si et seulement si son dénominateur est non nul.
S'il est défini, il est positif ou nul si et seulement si et sont de même signe et il est négatif ou nul si et seulement si les deux facteurs et sont de signes contraires.
Exemple
Soit l'inéquation 
Cette inéquation a un sens si 
donc si 
Le tableau de signe de 
est :
est positif ou nul sur l'ensemble ![]-oo;-2[ union [5/2; +oo[](/files/formules/f_85af2e9cacbe01f84a9d95ef52701cb2.gif)
Propriété
Soit 
une fonction définie sur 
de courbe représentative 
et 
un nombre réel.
- Les solutions de l'inéquation
sont les abscisses des points de la courbe situés au dessous de le droite horizontale d'équation 
(On prend les points si l'inégalité est large, on ne les prend pas si l'inégalité est stricte.) - De même, les solutions de l'inéquation
sont les abscisses des points de la courbe situés au dessus de droite horizontale d'équation
Exemple
Résolution graphique d'inéquation
Sur la figure ci-dessus, l'inéquation 
a pour solution l'intervalle ![[x_1;x_2]](/files/formules/f_7288547432d4c82888a63ca5694fc74e.gif)