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Fonctions linéaires et affines

Définition

Une fonction linéaire est une fonction définie sur par une formule du type : x|->ax où a in RR .
s'appelle le coefficient directeur.

Définition

Une fonction affine est une fonction définie sur par une formule du type : x|->ax+b où a in RR et b in RR .
s'appelle le coefficient directeur.

Remarque

Si b=0 , la fonction est linéaire. Les fonctions linéaires sont donc des cas particuliers des fonctions affines.

Théorème

Une fonction affine est :

strictement croissante si son coefficient directeur est strictement positif.
strictement décroissante si son coefficient directeur est strictement négatif.
constante si son coefficient directeur est nul.

Démonstration

Démontrons par exemple que la fonction $f:\ x|->ax+b$ est strictement décroissante si a<0
Soient 2 réels x_1 et x_2 tels que x_1 < x_2
Alors ax_1>ax_2 (on change le sens de l'inégalité car on multiplie par un réel négatif) donc
ax_1+b>ax_2+b c'est à dire :
f(x_1)>f(x_2)
Le sens de l'inégalité est inversé donc est décroissante sur .