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La fonction "carré"

Définition

La fonction carré est la fonction définie sur RR par : x|->x^2.
Sa courbe représentative est une parabole.

La parabole d'équation y
La parabole d'équation y

Théorème

La fonction carré est paire. Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Démonstration

Notons f..:..x|->x^2.
Pour tout x in RR:
f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)
donc la fonction carré est paire.

Théorème

La fonction carré est strictement décroissante sur ]-oo; 0[ et strictement croissante sur ]0; +oo[. Elle admet en 0 un minimum égal à 0.

Tableau de variations Tableau de signes
Tableau de variations de la fonction carrée

Démonstration

Démontrons par exemple que la fonction carré est décroissante sur ]-oo; 0[.
Notons f..:..x|->x^2.
Soient x_1 et x_2 2 réels quelconques tels que x_1 < x_2 < 0. Alors
f(x_1)-f(x_2)=x_1^2-x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)
x_1-x_2 < 0 car x_1 < x_2 et x_1+x_2 < 0 car x_1 et x_2 sont tous les deux négatifs.
Donc le produit (x_1-x_2)(x_1+x_2) est positif.
On en déduit f(x_1)-f(x_2) > 0 donc f(x_1) > f(x_2)
L'ordre des images étant inversé, la fonction carrée est strictement décroissante sur ]-oo; 0[

 

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