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Accueil » Seconde » Equations et inéquations

Equations

maths-cours
25/03/2008 - 15:30

Théorème

  • Si l'on ajoute ou si l'on soustrait un même nombre à chaque membre d'une équation, on obtient une équation équivalente (c'est à dire qui à les mêmes solutions).
  • Si l'on multiplie ou si l'on divise chaque membre d'une équation par un même nombre non nul, on obtient une équation équivalente.

Remarque

Pour résoudre une équation du type ax+b=0 on soustrait b à chaque membre de l'égalité:
ax+b-b=0-b c'est à dire ax=-b.
Puis:

  • si a est non nul on divise chaque membre par a:(ax)/a=-b/a soit x=-b/a donc S={-b/a}
  • si a=0:
  • si b=0 l'équation se réduit à 0=0. Elle est toujours vérifiée donc S=RR
  • si b!=0 l'équation se réduit à b=0. Elle n'est jamais vérifiée donc S={}

Théorème

(Equation produit)
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.
En particulier, une égalité du type A(x)*B(x)=0 est vérifiée si et seulement si :
A(x)=0 ou B(x)=0

Exemple

Soit l'équation (3x-5)(x+2)=0
Cette équation est équivalente à 3x-5=0 ou x+2=0.
C'est à dire x=5/3 ou x=-2.
L'ensemble des solutions de l'équation est donc S={-2;5/3}

Remarques

  • Lorsqu'on à affaire à une équation du second degré (ou plus), on fait "passer" tous les termes dans le membre de gauche que l'on essaie de factoriser et on utilise le théorème précédent.
  • On rappelle les identités remarquables qui peuvent être utiles dans ce genre de situations:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)(a-b)=a^2-b^2

Théorème

Un quotient est défini si et seulement si son dénominateur est non nul.
S'il est défini, un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul.

Exemple

Soit l'équation (2x-4)/(x+1)=0
Cette équation a un sens si x+1 !=0 donc si x!=-1
Sur l'ensemble RR\{-1} cette équation est équivalente à 2x-4=0 donc à x=2. L'ensemble des solutions de l'équation est donc S={2}

Propriété

Soit f une fonction définie sur D de courbe représentative C_f.
Les solutions de l'équation f(x)=m sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C_f et de la droite horizontale d'équation y=m

Résolution graphique d'équation

Exemple

Sur la figure ci-dessus, l'équation f(x)=2 possède deux solutions qui sont -1 et 3

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Exercices

Equations du premier degré
Equation et factorisation

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Par Anonyme, le lun, 16/08/2010 - 17:20.

Bonjour, n'y aurait-il pas une faute dans l'exemple donné pour illustrer l'équation produit. Pour 3y - 5 = 0 la solution n'étant pas y = 5/3 mais y = -5/3 car :
3 x 5/3 + 5 = 10 et non pas 0...

problème de signe

Par maths-cours, le lun, 16/08/2010 - 19:11.

C'est 3y - 5 = 0 (et non 3y + 5 = 0)
On a donc bien :
3 x 5/3 - 5 = 0


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