Partager |

Variations d'une fonction

Définitions

La fonction f est :
- croissante sur l'intervalle I: si pour tous réels x_1 et x_2 appartenant à I tels que x_1<= x_2 on a f(x_1)<= f(x_2).
- strictement croissante sur l'intervalle I: si pour tous réels x_1 et x_2 appartenant à I tels que x_1< x_2 on a f(x_1)< f(x_2).
- décroissante sur l'intervalle I: si pour tous réels x_1 et x_2 appartenant à I tels que x_1 <= x_2 on a f(x_1) >= f(x_2).
- strictement décroissante sur l'intervalle I: si pour tous réels x_1 et x_2 appartenant à I tels que x_1< x_2 on a f(x_1)> f(x_2).

Fonction croissante- fonction décroissante

Remarque

- Une fonction qui dont le sens de variations ne change pas sur I (c'est à dire qui est soit croissante sur I soit décroissante sur I) est dite monotone sur I.
- Une fonction constante (x|->k où k est un réel fixé) est à la fois croissante et décroissante mais n'est ni strictement croissante, ni strictement décroissante.

Propriété

Une fonction affine f:x|->ax+b est croissante si son coefficient directeur a est positif ou nul, et décroissante si son coefficient directeur est négatif ou nul.

Remarque

Si le coefficient directeur d'une fonction affine est nul la fonction est constante.

Propriété

- La fonction "carré" f:x|->x^2 est décroissante sur ]-oo;0], et croissante sur [0;+oo[
- La fonction "inverse" f:x|->1/x est décroissante sur ]-oo;0[, et décroissante sur ]0;+oo[

Attention

On ne peut pas dire que la fonction "inverse" est décroissante sur ]-oo;0[ union ]0;+oo[ car :
- ]-oo;0[ union ]0;+oo[ n'est pas un intervalle (mais est une réunion d'intervalles)
- -1<1 et pourtant 1/(-1) n'est pas supérieur à 1/1

Théorème

La somme de deux fonctions croissantes (resp. décroissantes) sur I est croissante (resp. décroissante) sur I.

Exemple

Par exemple la fonction x|->x^2+x-5 est croissante sur [0;+oo[ comme somme de la fonction "carré" et d'une fonction affine de coefficient directeur positif. Par contre, ce théorème ne permet pas de conclure sur ]-oo;0]

Remarque

Une fonction constante étant à la fois croissante et décroissante, ce théorème prouve que la fonction x |-> f(x) + k (où k est un réel) est croissante si f est croissante et décroissante si f est décroissante.

Théorème

- Si k>0, la fonction kf a le même sens de variations que la fonction f sur tout intervalle I
- Si k<0, la fonction kf a le sens de variations inverse de la fonction f sur tout intervalle I

Partager |

Partenaires : Cours-particulier.org - Cours-particuliers.info - Be Students

Copyright 2007-2012 - Maths-cours.fr