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Polynôme et équations du second degré

Définition

On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :
P(x) = ax^2 + bx + c
où a, b et c sont des réels avec a != 0

Exemples

  • P(x) = 2x^2+3x-5 est un polynôme du second degré.
  • P(x) = x^2-1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x-1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré - ou une fonction affine)
  • P(x) = 5(x-1)(3-2x) est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.

Théorème et définition

Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme :
P(x) = a(x - alpha)^2+ beta
avec alpha=-(b)/(2a) et beta=P(alpha)
Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme P.

Définition

Le nombre Delta=b^2-4ac s'appelle le discriminant du trinôme ax^2+bx+c

Propriété

Racines d'un polynôme du second degré
L'équation ax^2+bx+c=0

  • n'a aucune solution réelle si Delta < 0
  • a une solution unique alpha = -(b)/(2a) si Delta = 0
  • a deux solutions x_1=(-b+sqrt(Delta))/(2a) et x_2=(-b-sqrt(Delta))/(2a) si Delta > 0

Exemples

  • P_1(x)=-x^2+3x-2
    Delta=9-4*(-1)*(-2)=1
    P_1 possède 2 racines :
    x_1=(-3-1)/(-2)=2 et x_2=(-3+1)/(-2)=1
  • P_2(x)=x^2-4x+4
    Delta=16-4*1*4=0
    P_2 possède une seule racine :
    x_0=-(-4)/2=2
  • P_3(x)=x^2+x+1
    Delta=1-4*1*1=-3
    P_3 ne possède aucune racine

Propriété

Somme et produit des racines d'un polynôme du second degré
Soit un polynôme P(x) = ax^2 + bx + c dont le discriminant est strictement positif.

  • La somme des racines vaut x_1+x_2=-b/a
  • Le produit des racines vaut x_1x_2 = c/a

Remarque

Ces propriétés sont souvent utilisés pour résoudre rapidement une équation qui possède une racine "évidente". Par exemple l'équation x^2-4x+3=0 admet x_1=1 comme racine puisque 1^2-4*1+3=0 ; comme x_1*x_2=c/a=3 l'autre racine est x_2=3 .

Propriété

Signe d'un polynôme du second degré
Le polynôme P(x) = ax^2 + bx + c

  • est toujours du signe de a si Delta < 0
  • est toujours du signe de a mais s'annule pour x = alpha = -(b)/(2a) si Delta = 0
  • est du signe de a "à l'extérieur des racines" (c'est à dire sur ]-oo; x_1[ union ]x_2; +oo[) et du signe opposé entre les racines ( sur ]x_1; x_2[)

Remarque

Suivant chacun des cas on peut représenter le tableau de signe de P de la façon suivante :

  • Si Delta > 0 :
    Tableau de variations Tableau de signes
  • Si Delta= 0 :
    Tableau de variations Tableau de signes
  • Si Delta > 0 :
    Tableau de variations Tableau de signes

Exemples

Si l'on reprend les exemples précédents :

  • P_1(x)=-x^2+3x-2
    Delta>0 et a<0
    Tableau de variations Tableau de signes
  • P_2(x)=x^2-4x+4
    Delta=0 et a>0
    Tableau de variations Tableau de signes
  • P_3(x)=x^2+x+1
    Delta<0 et a>0
    Tableau de variations Tableau de signes

On rappelle que les solutions de l'équation f(x)=0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C_f et de l'axe des abscisses.
En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :

  a>0 a<0
Delta>0
Second degré 2 racines a positif

2 racines : x_1 et x_2
Second degré 2 racines a négatif

2 racines : x_1 et x_2
Delta=0
Second degré 1 racine a positif

1 racine : x_0
Second degré 1 racine a négatif

1 racine : x_0
Delta<0
Second degré aucune racine a positif

Pas de racine
Second degré aucune racine a négatif

Pas de racine
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Exercices

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