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Limites du type "k/0"

maths-cours
29/10/2008 - 16:22

Situation

On cherche à calculer la limite d'une fraction rationnelle lorsquex tend vers une valeur a qui annule le dénominateur; par exemple lim(x->1)(x+2)/(x^2-1)

Méthode

  • Si on a affaire à une limite du type 0/0 (forme indéterminée),on lève l'indétermination en factorisant le numérateur et le dénominateur puis en simplifiant la fraction
  • Si on a affaire à une limite du type k/0 avec k != 0:
  • on distingue les limites à gauche et à droite :

lim(x-> a;x < a) f(x) et lim(x-> a; x > a) f(x)

  • les limites seront égales à +oo ou -oo
  • pour déterminer le signe de la limite on étudie le signe du quotient. On peut toutefois se limiter à l'étude de signe au voisinage de a(voir exemples)

Exemple 1

Calculer lim(x->2)(x^2-3x+2)/(x^2-4)
En remplaçant x par 2 dans la fraction rationnelle on obtient 0/0.On lève l'indétermination en simplifiant la fraction.
2 est racine de x^2-3x+2 comme on vient de le voir. Le produit des racines vaut c/a=2 donc l'autre racine est 1.
x^2-3x+2 peut donc se factoriser sous la forme (x-1)(x-2).
x^2-4=(x-2)(x+2) (identité remarquable)

Donc :
lim(x->2)(x^2-3x+2)/(x^2-4)=lim(x->2)((x-1)(x-2))/((x-2)(x+2))=lim(x->2)(x-1)/(x+2)=1/4

Exemple 2

Calculer lim(x->-1)2/(1+x)
En remplaçant x par -1 dans la fraction rationnelle on obtient 2/0.
La limite est donc infinie. Pour l'étude du signe on distingue les limites à gauche et à droite.
Le numérateur est toujours positif.

  • si x < -1, 1+x est strictement négatif
  • si x > -1, 1+x est strictement positif donc
  • lim(x->-1;x<-1)2/(1+x)=-oo
  • lim(x->-1;x>-1)2/(1+x)=+oo

Exemple 3

Calculer lim(x->0)(x^3+x-3)/(x^2-x)
En remplaçant x par 0 dans la fraction rationnelle on obtient -3/0.
La limite est donc infinie. On distingue les limites à gauche et à droite.
Il n'est pas facile de factoriser le numérateur qui est du troisième degré. Heureusement, cela ne sera pas nécessaire ici !
On ne va pas construire le tableau de signes sur RR tout entier mais seulement au voisinage de zéro.
Si x est proche de zéro le numérateur sera proche de -3 donc négatif.
Le dénominateur se factorise x^2-x=x(x-1) et x-1 est proche de -1 (donc négatif) lorsque x est proche de 0.
On obtient alors le tableau de signe au voisinage de 0 :
Tableau de variations Tableau de signes
Donc

  • lim(x->0;x<0)(x^3+x-3)/(1+x)=-oo
  • lim(x->0;x>0)(x^3+x-3)/(1+x)=+oo

Remarque

Une petite astuce pour vérifier votre résultat à la calculatrice.

Pour avoir une idée de la valeur de lim(x-> a)f(x),donnez à x des valeurs proches de a et calculer f(x)

Par exemple, pour l'exemple 3, on entre la fonction x|->(x^3+x-3)/(x^2-x) dans la calculatrice et on calcule :
f(-0,0000000001)~=-3*10<sup>10</sup>
f(0,0000000001)~=3*10<sup>10</sup>
ce qui confirme les valeurs ( et surtout les signes ! ) que nous avons trouvées (-oo et +oo).


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