Fonctions polynômes et fonctions rationnelles
Objectifs de ce chapitre
- savoir ce qu'est une fonction polynôme
- savoir ce qu'est une racine d'un polynôme
- savoir factoriser un polynôme dont on connaît une racine
- savoir ce qu'est une fonction rationnelle
1. Fonctions polynômes
Définition
Une fonction 
est une fonction polynôme si elle est définie sur 
et si on peut l'écrire sous la forme :
Remarques
- par abus de langage, on dit parfois polynôme au lieu de fonction polynôme.
- les nombres
s'appellent les coefficients du polynôme.
Définition
Degré d'un polynôme
Si 
dans l'écriture , on dit que P est une fonction polynôme de degré 
.
Cas particuliers
- la fonction nulle n'a pas de degré
- une fonction constante non nulle définie par
avec 
est une fonction polynôme de degré 0
- une fonction affine par
avec est une fonction polynôme de degré 1
Propriété
Le produit d'un polynôme de degré par un polynôme de degré 
est un polynôme de degré 
.
Remarque
Il n'existe pas de formule donnant le degré d'une somme de polynôme. On peut tout au plus dire que deg(P+Q)
max(deg(P),deg(Q)).
Propriété
Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.
Cas particulier
est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
Définition
On dit que 
est une racine du polynôme si et seulement si 
.
Exemple
1 est racine du polynôme 
car 
Théorème
Si est un polynôme de degré 
et si 
est une racine de alors 
peut s'écrire sous la forme :
ou 
est un polynôme de degré 
2. Fonctions rationnelles
Définition
Une fonction 
est une fonction rationnelle si on peut l'écrire sous la forme :
où et sont deux fonctions polynômes.
La fonction est définie pour tout 
tel que 
.
Exemple
Soit la fonction définie sur 
par :
Après réduction au même dénominateur :
donc est une fraction rationnelle.