Barycentres
1. Barycentre de deux points pondérés
Théorème et définition
A et B sont deux points du plan; 
et 
sont deux réels tels que 
Il existe un unique point 
du plan tel que 
.
G s'appelle le barycentre du système 
.
Remarque
Lorsque 
(on parle alors d'isobarycentre), G est le milieu du segment [AB].
Propriété
Pour tout réel 
, le barycentre ne change pas si on multiplie tous les coefficients par 
.
Propriété
Si G est le barycentre du système , les points A, B et G sont alignés. Réciproquement, si A, B et C sont trois points alignés, il existe 2 nombres et avec 
tel que C soit barycentre du système .
Propriété
et sont deux réels tels que . Pour tout point M du plan :
Remarque
La propriété précédente est valable pour tout point M. En particulier en faisant M = A on obtient:
Cette formule est très utile pour placer le point G.
2. Barycentre de trois points pondérés
Théorème et définition
A, B et C sont trois points du plan; , et 
sont trois réels tels que 
Il existe un unique point du plan tel que 
.
G s'appelle le barycentre du système 
.
Propriété
Pour tout réel , le barycentre ne change pas si on multiplie tous les coefficients par .
Propriété
, et sont trois réels tels que 
. Pour tout point M du plan :
Remarque
La propriété précédente est valable pour tout point M. En particulier en faisant M = A on obtient:
Cette formule est utile pour placer le point G.
Théorème
Associativité du barycentre
, et sont trois réels tels que et et soit G le barycentre du système .
Alors G est le barycentre du système 
où 
est le barycentre du système .