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Suites géométriques

Définition

On dit qu'une suite (u_n)_(n in NN) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel q tel que :
pour tout n in NN, u_(n+1)=q * u_n
Le réel q s'appelle la raison de la suite géométrique (u_n).

Remarque

Pour démontrer qu'une suite (u_n)_(n in NN) dont les termes sont non nuls est une suite géométrique, on pourra calculer le rapport (u_(n+1))/(u_n).
Si ce rapport est une constante q, on pourra affirmer que la suite est une suite géométrique de raison q.

Exemple

Soit la suite (u_n)_(n in NN) définie par u_n=3/(2^n).
Les termes de la suite sont tous strictement positifs et
(u_(n+1))/(u_n)=3/(2^(n+1))*(2^n)/3=(2^n)/(2^(n+1))=(2^n)/(2*2^n)=1/2
La suite (u_n) est une suite géométrique de raison 1/2

Propriété

Pour n et k quelconques entiers naturels, si la suite (u_n) est géométrique de raison q :u_n=u_k*q^(n-k).
En particulier u_n=u_0*q^n.

Propriété

Réciproquement, soient a et b deux nombres réels. La suite (u_n) définie par u_n=a*b^n suite est une suite géométrique de raison q=b et de premier terme u_0=a.

Démonstration

u_(n+1)=a*b^(n+1)=a*b^n*b=u_n*b
et
u_0=a*b^0=a*1=a

Théorème

Soit (u_n) une suite géométrique de raison q > 0 et de premier terme strictement positif :

  • Si q >1, la suite (u_n) est strictement croissante
  • Si 0 < q <1, la suite (u_n) est strictement décroissante
  • Si q = 1, la suite (u_n) est constante

Théorème

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites géométriques de raison respectives q et q' alors le produit (w_n) de ces deux suites défini par :
w_n=u_n*v_n
est une suite géométrique de raison q''=q*q'

Théorème

Somme des premiers termes
Si (u_n)_(n in NN) est une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q!=1 :
S_n=u_0+u_1+. . .+u_n=u_0*(1-q^(n+1))/(1-q)

Remarques

  • Cette formule peut se généraliser à des sommes ne commençant pas par u_0 et peut se retenir sous l'une des deux formes suivantes:
    S_n=`premier terme` * (1-q^(`nombre de termes`))/(1-q)
    ou
    S_n=(`premier terme`-`terme suivant le dernier terme`)/(1-q)
    Cette dernière formule est très pratique pour éviter de calculer le nombre de termes de la somme (voir exemple ci-dessous).
  • Cette formule n'est pas valable pour q=1. Mais dans ce cas (u_n) est une suite constante donc:
    S_n=u_0+u_0+ . . . +u_0 = (n+1)*u_0

Exemple

Soit à calculer la somme S=4+8+16. . .+2^n pour n>2
S est la somme des premiers termes de la suite 4, 8, 16 ... qui est géométrique de raison 2.
Le premier terme est 4 et le dernier terme 2^n, le terme suivant serait 2^(n+1), donc:
S=(4-2^(n+1))/(1-2)=2^(n+1)-4

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