Suites arithmétiques
Définition
On dit qu'une suite 
est une suite arithmétique s'il existe un nombre 
tel que :
pour tout 
, 
Le réel s'appelle la raison de la suite arithmétique.
Remarque
Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on pourra calculer la différence 
.
Si on constate que la différence est une constante , on pourra affirmer que la suite est arithmétique de raison .
Exemple
Soit la suite définie par 
.
La suite 
est une suite arithmétique de raison
Propriété
Pour 
et 
quelconques entiers naturels, si la suite est arithmétique de raison alors on a 
.
En particulier 
.
Propriété
Réciproquement, si 
et 
sont deux nombres réels et si la suite est définie par 
alors cette suite est une suite arithmétique de raison 
et de premier terme 
.
Démonstration
et
Théorème
Soit une suite arithmétique de raison :
- si
alors est strictement croissante - si
alors est constante - si
alors est strictement décroissante.
Théorème
Si et 
sont deux suites arithmétiques de raison respectives et 
alors la somme de ces deux suites, c'est à dire la suite 
définie par :
est aussi une suite arithmétique et sa raison 
est :
Théorème
Somme des premiers termes
Si est une suite arithmétique de premier terme 
et de raison :
Remarque
Cette formule peut se généraliser à des sommes ne commençant pas par et peut se retenir sous la forme:
Exemple
Soit à calculer la somme 
.
est la somme des premiers termes de la suite 1, 2, 3 ... qui est arithmétique de raison 1.
Le nombre de terme est , le premier terme est 
et le dernier terme , donc
