Statistiques à deux variables
Introduction
Il est fréquent d'avoir à étudier simultanément deux caractères d'une même population.
On cherche alors à déterminer si l'un des caractères influence le second.
On représente généralement 2 séries à étudier conjointement est un tableau à double entrée.
1. Tableau à double entrée
Définition
Tableau d'effectifs à deux entrées
Un tableau d'effectifs à deux entrées présente l'un des caractères en ligne et l'autre caractère en colonne.
A l'intersection d'une ligne et d'une colonne on indique le nombre d'individus possédant simultanément ces deux valeurs de caractères.
On complète généralement le tableau par une ligne et une colonne de totaux.
Exemple
La population des classes de première d'un lycée est représentée par le tableau suivant :
| Sexe \ Section | 1°ES | 1°S | 1°L | Total |
| Garçons | 120 | 142 | 92 | 354 |
| Filles | 90 | 85 | 152 | 327 |
| Total | 210 | 227 | 244 | 681 |
Ce tableau peut s'interpréter ainsi:
- il y a 152 filles en 1ère L
- il y a 227 élèves en 1ère S
- il y a 354 garçons en 1ère
- il y a 681 élèves en 1ère
- etc.
Remarque
Les effectifs figurant dans la ligne et la colonne "Total" sont appelés effectifs marginaux.
Les effectifs marginaux correspondent à l'étude d'un seul des deux caractères.
Dans l'exemple précédent la colonne "total" donne la répartition des élèves de 1ère par sexe et la ligne "total" donne la répartition des élèves de 1ère par section.
Définition
Tableau des fréquences par rapport à l'effectif global
Un tableau des fréquences à deux entrées se présente comme un tableau d'effectifs à deux entrées dans lequel les effectifs ont été remplacés par des fréquences.
(Rappel : Une fréquence est égale à un effectif divisé par l'effectif global; elle peut être exprimée sous forme décimale ou en pourcentage)
Exemple
Pour obtenir le tableau des fréquences à partir du tableau précédent, il suffit de diviser chaque nombre du tableau par 681.
On obtient (arrondi au centième) :
| Sexe \ Section | 1°ES | 1°S | 1°L | Total |
| Garçons | 0,18 | 0,21 | 0,14 | 0,52 |
| Filles | 0,13 | 0,12 | 0,22 | 0,48 |
| Total | 0.31 | 0,33 | 0,36 | 1 |
Ce tableau peut s'interpréter ainsi:
- 48% des élèves de 1ère sont des filles
- 31% des élèves de 1ère sont en 1ère ES
- 14% des élèves de 1ère sont des garçons étudiant en 1ère L
- etc.
Remarque
Les fréquences figurant dans les ligne et colonne "Total" sont appelés fréquences marginales
2. Fréquences conditionnelles
Définition
Si l'on fixe une valeur d'un des 2 caractères on obtient une série à une variable appelée série conditionnelle. Le tableau d'effectifs de cette série correspond à une ligne ou à une colonne du tableau à double entrée.
Exemple
On cherche à étudier la répartition par sections des filles élèves de première. Les effectifs de cette série sont donnés par la ligne "filles" du tableau d'effectifs à double entrée.
| Section | 1°ES | 1°S | 1°L | Total |
| Filles | 90 | 85 | 152 | 327 |
Pour obtenir le tableau des fréquences de cette série à une variable il faut diviser chaque effectif par l'effectif total de l'ensemble des filles soit 327.
On obtient :
| Section | 1°ES | 1°S | 1°L | Total |
| Filles | 0,28 | 0,26 | 0,46 | 1 |
Ce tableau indique que 28% des filles de 1ère sont en 1ère ES
Cette fréquence se nomme fréquence conditionnelle ou fréquence des élèves de 1ère S sachant qu'il s'agit de filles.
Remarque
Notez que contrairement à ce qui se produit pour les effectifs, le tableau des fréquences ne correspond pas à une ligne du tableau des fréquences à double entrée.
C'est dû au fait que l'ensemble de référence n'est pas le même dans les deux cas (ensemble de tous les élèves de première dans le premier cas et ensemble des filles de première dans le second)
La propriété ci-dessous permet de calculer directement une fréquence conditionnelle:
Propriété
La fréquence de A sachant B notée 
est égale à :
Exemple
La fréquence des garçons parmi les élèves de 1ère S est égale à :
(ici A = "garçons" et B = "élèves de 1ère S")