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Polynôme et équations du second degré

1. Polynômes du second degré

Définition

On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme :
P(x) = ax^2 + bx + c
où , et sont des réels avec a != 0

Exemples

est un polynôme du second degré.
est un polynôme du second degré avec mais n'en est pas un car n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré - ou une fonction affine)
est un polynôme du second degré car en développant on obtient une expression du type souhaité.

Théorème et définition

Tout polynôme du second degré peut s'écrire sous la forme :
P(x) = a(x - alpha)^2+ beta
avec alpha=-(b)/(2a) et beta=P(alpha)
Cette expression s'appelle forme canonique du polynôme .

2. Equations du second degré

Définition

On appelle racine d'un polynôme P(x) une solution de l'équation P(x)=0

Définition

On appelle discriminant du polynôme P(x) = ax^2 + bx + c le nombre :
Delta = b^2-4ac

Remarque

Ne pas confondre les mots "racine" et "racine carrée" !

Théorème

Si , le polynôme admet deux racines distinctes : et
Si , le polynôme admet une racine unique :
Si , le polynôme n'admet aucune racine réelle.

Exemples

possède 2 racines :
et
possède une seule racine :
ne possède aucune racine.

3. Inéquations du second degré

Théorème

Soit P(x) un trinôme du second degré de discriminant Delta

Si : est du signe de à l'extérieur des racines (c'est à dire si ou ) et du signe opposé entre les racines (si )
Si : est toujours du signe de sauf en (où il s'annule).
Si : est toujours du signe de

Exemples

Si l'on reprend les exemples précédents :

et
et
et

4. Interprétation graphique

On rappelle que les solutions de l'équation f(x)=0 sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C_f et de l'axe des abscisses.
En regroupant les propriétés de ce chapitre et celles vues en Seconde on peut résumer ces résultats dans le tableau :