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Nombre dérivé

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x_1 et x_2 deux réels appartenant à I.
On appelle taux d'accroissement de f entre x_1 et x_2 le nombre :
T=(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1)

Interprétation graphique

Taux d'accroissement

Le taux d'accroissement de f entre x_1 et x_2 est le coefficient directeur de la droite AB.

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant x_0.
On dit que f est dérivable en x_0 si et seulement si le rapport (f(x_0+h)-f(x_0))/h admet une limite finie lorsque h tend vers zéro.
Cette limite s'appelle le nombre dérivé de f en x_0 et se note f'(x_0).
(On a donc : f'(x_0)=lim(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h).

Remarques

  • Le quotient (f(x_0+h)-f(x_0))/h est le taux d'accroissement de f entre x et x+h.
  • On peut également définir le nombre dérivé de la façon suivante:
    f'(x_0)=lim(x-> x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)
    (cela correspond au changement de variable x=x_0+h)

Exemple

Calculons le nombre dérivé de la fonction f:x..|->..x^(2) pour x=1.
Ce nombre se note f'(1) et vaut :
f'(1)=lim(h->0)((1+h)^(2)-1^(2))/h=lim(h->0)(2h+h^(2))/h=lim(h->0)2+h
Or quand h tend vers 0, 2+h tend vers 2; donc f'(1)=2.

Interprétation graphique

Tangente en un point

Lorsque h se rapproche de zéro, le point B se rapproche du point A et la droite (AB) se rapproche de la tangente (T)

Propriété

Soit f une fonction dérivable en x_0 de courbe représentative C_f, f'(x_0) représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe C_(f) au point d'abscisse x_0.

Propriété

Soit f une fonction dérivable en x_0 de courbe représentative C_f, l'équation de la tangente à C_f au point d'abscisse x_0 est :
y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

Démonstration

D'après la propriété précédente, la tangente à C_f au point d'abscisse x_0 est une droite de coefficient directeur f'(x_0). Son équation est donc de la forme :
y=f'(x_0)x+b
On sait que la tangente passe par le point A de coordonnées (x_0; f(x_0)) donc :
f(x_0)=f'(x_0)x_0+b
b=-f'(x_0)x_0+f(x_0)
L'équation de la tangente est donc :
y=f'(x_0)x-f'(x_0)x_0+f(x_0)
Soit :
y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

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