Barycentres et lieux géométriques
Cette fiche propose de résoudre des problèmes du type :
Exercice
Soient A, B, C, trois points du plan. Déterminer l'ensemble des points 
du plan tels que:
1. Simplification des sommes de vecteurs
Méthode
Lorsque l'on a affaire à une expression du type 
on regarde dans un premier temps si la somme 
est nulle.
- si
, le vecteur est constant. On simplifie cette somme en utilisant la relation de Chasles. - si
le barycentre 
du système 
existe. On simplifie l'expression en utilisant la relation de Chasles et en faisant intervenir le point . On trouve alors : 
Exemple 1
Soit la somme 
. La somme des coefficients vaut 
. On simplifie cette expression en utilisant la loi de Chasles et en faisant intervenir (par exemple) le point A:
Ce vecteur est constant(ne dépend pas de ).
Exemple 2
Soit la somme 
. La somme des coefficients vaut 
.
On fait intervenir le barycentre du système 
D'après la définition du barycentre 
donc :
2. Détermination du lieu géométrique
Propriétés (Rappels du collège)
A et B sont deux points du plan et 
un réel.
- L'ensemble des points du plan tels que
est la médiatrice du segment ![[AB]](/files/formules/f_5e32d4dbe98ef3af1b5123ccba43cbf7.gif)
. - L'ensemble des points du plan tels que
est :
- l'ensemble vide
si 
- l'ensemble
si 
- le cercle de centre
et de rayon si 
- l'ensemble vide
Exemple
Si l'on reprend l'exercice donné en début de page, d'après les exemples 1 et 2 :
car : 
et 
. Donc:
L'ensemble cherché est donc le cercle de centre de rayon 
Remarque
Il est parfois possible de préciser l'ensemble solution en trouvant un point particulier de cet ensemble.
Ici, par exemple, on remarque que le point 
appartient à l'ensemble cherché car :
L'ensemble cherché est donc le cercle de centre passant par .
Remarque
Les méthodes de cette fiche s'appliquent également à la géométrie dans l'espace. Dans ce cas les propriétés du second paragraphe doivent être remplacées par :
A et B sont deux points de l'espace et un réel.
- L'ensemble des points du plan tels que est le plan médiateur du segment .
- L'ensemble des points du plan tels que est :
- l'ensemble vide si
- l'ensemble si
- la sphère de centre et de rayon si
- l'ensemble vide