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Etudier la parité d'une fonction

Méthode

Préalable : On vérifie que l'ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.
C'est le cas, en particulier, pour les ensembles , $RR\{0}$ et les intervalles du type [-a;a] et ]-a;a[ . Si l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, la fonction n'est ni paire ni impaire.

1.Pour montrer qu'une fonction

est paire:

a.On calcule f(-x)

en remplaçant

par

dans l'expression de f(x)

b.On montre que f(-x)=f(x)

2.Pour montrer qu'une fonction

est impaire :

a.On calcule f(-x)

en remplaçant

par

dans l'expression de f(x)

b.On calcule -f(x)

c.On montre que f(-x)=-f(x)

3.Pour montrer qu'une fonction

n'est pas paire :
Il suffit d'un contre-exemple c'est à dire qu'il suffit de trouver un nombre

tel que

4.Pour montrer qu'une fonction

n'est pas impaire :
Il suffit d'un contre-exemple c'est à dire qu'il suffit de trouver un nombre

tel que

Remarques

1.Si l'énoncé ne précise pas s'il faut montrer que

est paire ou s'il faut montrer que

est impaire, il peut s'avérer utile de tracer la courbe représentative de

à la calculatrice.
si la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la fonction est paire.
si la courbe est symétrique par rapport à l'origine, la fonction est impaire.

2.Une fonction peut n'être ni paire, ni impaire (c'est même le cas général ! )

3.Seule la fonction nulle ( x|->0

) est à la fois paire et impaire.

Exemple 1

Montrer que la fonction définie sur $RR\{0}$ par f : x|->(1+x^2)/(x^2) est paire.

Pour tout réel non nul :
f(-x) = (1+(-x)^2)/((-x)^2)
Or (-x)^2=x^2 donc
f(-x)=(1+x^2)/(x^2)

Pour tout $x in RR\{0}$ , f(-x)=f(x) donc la fonction est paire.

Exemple 2

Etudier la parité de la fonction définie sur par f : x|->(2x)/(1+x^2)

La courbe de la fonction donnée par la calculatrice semble symétrique par rapport à l'origine du repère.

On va donc montrer que est impaire.
Pour tout réel :
f(-x)=(2*(-x))/(1+(-x)^2)
Or (-x)^2=x^2 donc
f(-x)=(-2x)/(1+x^2)
Par ailleurs :
-f(x)=-(2x)/(1+x^2)
Pour tout réel , f(-x)=-f(x) donc la fonction est impaire.

Exemple 3

Etudier la parité de la fonction définie sur par f : x|->(1+ x)/(1+x^2)

La courbe de la fonction donnée par la calculatrice ne présente aucune symétrie.

On va donc montrer que n'est ni paire ni impaire.
Calculons par exemple f(1) et f(-1)
f(1)=2/2=1 et f(-1)=0/2=0
On a donc f(-1)!=f(1) et f(-1)!=-f(1)
Donc n'est ni paire ni impaire.