Equation différentielle avec second membre
Les équations différentielles du type 
ne figurent pas explicitement au programme de Terminale S. Cependant, beaucoup d'exercices sur les équations différentielles proposés au Bac sont de ce type. L'énoncé vous guide alors en vous indiquant les différentes étapes à suivre. Vous êtes toutefois largement favorisé si vous avez déjà résolu ce genre d'exercice.
ne figurent pas explicitement au programme de Terminale S. Cependant, beaucoup d'exercices sur les équations différentielles proposés au Bac sont de ce type. L'énoncé vous guide alors en vous indiquant les différentes étapes à suivre. Vous êtes toutefois largement favorisé si vous avez déjà résolu ce genre d'exercice.
Méthode
On doit résoudre sur 
une équation différentielle du type :
(E): où 
est une fonction de 
définie sur
On utilise pour cela l'équation différentielle linéaire sans second membre :
(E0): 
La résolution se fait en plusieurs étapes:
1.On recherche les solutions 
de l'équation sans second membre (E0)
D'après un théorème du cours se sont les fonctions définies par
de l'équation sans second membre (E0)D'après un théorème du cours se sont les fonctions définies par
2.On recherche une solution particulière 
de l'équation (E)
Souvent, l'énoncé vous donnera cette solution; il vous suffira de vérifier que
Sinon l'énoncé vous indiquera la méthode à employer
de l'équation (E)Souvent, l'énoncé vous donnera cette solution; il vous suffira de vérifier que
Sinon l'énoncé vous indiquera la méthode à employer
3.On montre que :
est solution de (E) 
est solution de (E0)
Voir l'exemple (la démonstration est toujours identique)
est solution de (E) est solution de (E0)Voir l'exemple (la démonstration est toujours identique)
4.On en déduit les solutions de (E) qui sont de la forme 
où est la solution du 2. et les fonctions trouvées au 1.
de (E) qui sont de la forme où est la solution du 2. et les fonctions trouvées au 1.
Exemple
Enoncé
Soient les équations différentielles suivantes définies sur :
(E) 
(E0) 
1.Déterminer les solutions de l'équation (E0).
2.Montrer qu'il existe une fonction affine solution de (E).
solution de (E).3.Montrer que : solution de (E) <=> 
solution de (E).
solution de (E) <=> solution de (E).4.Déterminer les solutions de l'équation (E0).
1.Les solutions de 
sont les fonctions définies par .
Ici on obtient
sont les fonctions définies par .Ici on obtient
2.On recherche de la forme 
(l'énoncé nous demande de chercher une fonction affine)
donc 
.
Le polynôme
est identique à 
si et seulement si 
et 
soit 
.
Donc
de la forme (l'énoncé nous demande de chercher une fonction affine) donc .Le polynôme
est identique à si et seulement si et soit .Donc
3. est solution de (E) 
Or on sait que est solution de (E) donc 
En remplacant par 
on obtient :
est solution de (E)
est solution de (E) 
est solution de (E) 
est solution de (E0)
est solution de (E) Or on sait que
est solution de (E) donc En remplacant
par on obtient : est solution de (E) est solution de (E) est solution de (E) est solution de (E0)4.Les solutions de (E) sont de la forme où est une solution de (E0). Soit :
de (E) sont de la forme où est une solution de (E0). Soit :