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Utilisation d'une suite annexe

On considère la suite (u_n) définie par :
u_0 = 1 et pour tout entier n , u_(n+1) = 1/2 u_n - 1.

1.Calculer u_1 et u_2. La suite (u_n) est-elle arithmétique? géométrique ?
2.On pose v_n = u_n + 2.

a.Exprimer v_(n+1) en fonction de v_n.Quelle est la nature de la suite (v_n) ?
b.Exprimer v_n en fonction de n.
c.En déduire u_n en fonction de n.
3.Calculer la somme v_0 + v_1 + . . . + v_100.
En déduire u_0 + u_1 . . . + u_100.
(on donnera les valeurs exactes)
Corrigé
1.
u_1=1/2u_0-1=-1/2
u_2=1/2u_1-1=-5/4
La suite n'est ni arithmétique ni géométrique.
2.

a.v_(n+1)=u_(n+1)+2=1/2u_n+1=1/2(v_n-2)+1=1/2v_n
(v_n) est une suite géométrique de raison 1/2
b.v_n=v_0*(1/2)^n=3*(1/2)^n
c.u_n=3*(1/2)^n-2
3. v_0+v_1+ . . . +v_100=3*((1-(1/2)^100)/(1-1/2))
v_0+v_1+ . . . +v_100=6*(1-(1/2)^100)=6-6/(2^100)=6-3*2^(-99)
Donc :
u_0+u_1+ . . . +u_100=v_0-2+v_1-2+ . . . +v_100-2=-200+6-3*2^(-99)
u_0+u_1+ . . . +u_100=-194-3*2^(-99)
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