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Suites et récurrence - Bac S Métropole 2009

Exercice 1

4 points - Commun à tous les candidats

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite (u_n) définie par :
u_0 = 1 et, pour tout nombre entier naturel n, u_(n+1) = 1/3u _n + 4.
On pose, pour tout nombre entier naturel n, v_n = u_n - 6.

a. Pour tout nombre entier naturel n, calculer v_(n+1) en fonction de v_n. Quelle est la nature de la suite (v_n) ?
b. Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, u_n = -5 (1/3)^n + 6.
c. Étudier la convergence de la suite (u_n).
2. On considère la suite (w_n) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n >= 1 :
nw_n = (n + 1)w_(n-1) +1 et w_0 = 1.
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.

w_0 w_1 w_2 w_3 w_4 w_5 w_6 w_7 w_8 w_9
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
a. Détailler le calcul permettant d'obtenir w_(10).
b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Donner la nature de la suite (w_n). Calculer w_(2009).
Corrigé
1.

a.v_(n+1)=u_(n+1)-6=(1/3u_n+4)-6=1/3u_n-2=1/3(v_n+6)-2=1/3v_n
La suite (v_n) est une suite géométrique de premier terme v_0=u_0-6=-5 et de raison 1/3
b.On en déduit pour tout entier naturel n :
v_n=v_0*q^n=-5(1/3)^n
donc
u_n=v_n+6=-5(1/3)^n+6
c.Comme 1/3<1, on en déduit que :
lim(n->oo)u_n=6
donc la suite (u_n) converge vers 6
2.

a.10w_10=11w_9+1=11*19+1=210
w_10=21
b.Montrons par récurrence que pour tout entier n :
w_n=2n+1
Initialisation
w_0=1 donc la propriété est vraie au rang 1.
Hérédité
Supposons w_n=2n+1 pour un certain entier n, alors:
(n+1)w_(n+1)=(n+2)(2n+1)+1=2n^2+5n+3
2n^2+5n+3 est un polynôme du second degré en n dont les racines sont -1 et -3/2 donc :
2n^2+5n+3=2(n+1)(n+3/2)=(n+1)(2n+3)
donc
(n+1)w_(n+1)= (n+1)(2n+3)
w_(n+1)= 2n+3 car n+1!=0
Ce qui montre par récurrence que w_n=2n+1.
La suite (w_n) est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1.
w_2009=2*2009+1=4019
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