Suites et équations différentielles - Bac S - Pondichéry 2008

Exercice 4

(7 points) - Commun à tous les candidats

On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : un modèle discret

Soit un le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année n.
On pose n = 0 en 2005, et, pour tout , .

1.Soit la fonction définie sur [0 ; 20] par .

a.Etudier les variations de sur [0 ; 20].

b.En déduire que pour tout , .

c.On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal du plan. Représenter, sur l'axe des abscisses, à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite .

2.Montrer par récurrence que pour tout , .

3.Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite.

Partie B : un modèle continu

Soit le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année . On pose en 2005, et est une solution, qui ne s'annule pas sur , de l'équation différentielle

(E) :

1.On considère une fonction qui ne s'annule pas sur et on pose .

a.Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l'équation différentielle :
(E1) : .

b.Résoudre l'équation (E1) et en déduire les solutions de l'équation (E).

2.Montrer que est définie sur par .

3.Etudier les variations de sur .

4.Calculer la limite de en et interpréter le résultat.

Corrigé

Partie A

1.

a.
est une fonction polynôme du second degré avec un coefficient de négatif.
Sa courbe représentative est une parabole dont l'abscisse du sommet est :

Son tableau de variation est le suivant :

b. D'après le tableau il est évident que pour tout .

c.

2.
et donc la propriété est vraie au rang 0 ()
Supposons .
Comme f est croissante sur [0;10]

c'est à dire
.
Donc la propriété est héréditaire.
Donc pour tout .

3. La suite est croissante et majorée (par 10) donc elle est convergente. Sa limite vérifie
Ce qui donne donc ou .
La solution ne peut convenir car, la suite étant croissante
Donc .

Partie B

1.

a. ne s'annule pas sur donc et .

b. Les solutions de l'équation (E1) sont les fonctions définies par :
où
Les solutions de (E) sont les fonctions définies par :

où (on a posé )

2. vérifie ce qui donne:
soit
Donc :
.

3.
Donc la fonction est strictement croissante sur

4. et donc par composition et

Le nombre de foyers possédant un tel équipement se rapprochera progressivement de 10 millions.

5. Comme :

La fonction étant strictement croissante sur :

Comme , le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera les 5 millions au cours de l'année 2009.