Etude d'une fonction - Suites - Bac S Liban 2008

Exercice 3

6 points - Commun à tous les candidats

Partie A.
Démonstration de cours
Prérequis : définition d'une suite tendant vers .
« une suite tend vers si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs A»

Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers .

Partie B

On considère la fonction définie sur l'intervalle par .
La courbe (C) représentative de la fonction dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

1.Étudier le sens de variation de la fonction sur l'intervalle .

Dans la suite de l'exercice, on admet que, sur l'intervalle , la courbe (C) est située au dessus de la droite (T).

Partie C
On considère la suite définie sur par :
et, pour tout entier naturel n,

1.Construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique précédent).

2.À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite et son comportement lorsque n tend vers ?

3.

a.Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, .

b.Montrer que la suite est croissante.

c.Montrer que la suite n'est pas majorée.

d.En déduire la limite de la suite .