Droite d'ajustement et astronomie - Bac ES Amérique du Nord - 2008

Exercice 3

(5 points) - Commun à tous les candidats

Historiquement, on avait décidé de numéroter les planètes du système solaire suivant leur distance moyenne au Soleil. Ainsi, on notait :

• Mercure = 1
• Vénus = 2
• Terre = 3
• Mars = 4
• Cérès = 5
• Jupiter = 6
• Saturne = 7
• Uranus = 8

On considère la série statistique double , où représente le numéro d'ordre de la planète et sa distance au soleil (en millions de km) :
(1 ; 57,94) , (2 ; 108,27) , (3 ; 149,60) , (4 ; 228,06) , (5 ; 396,44) , (6 ; 778,73) , (7 ; 1 427,7) , (8 ; 2 872,4).

1.Indiquer, à l'aide d'une phrase, la signification du couple (3 ; 149,60).
Dans la suite de l'exercice, les résultats seront arrondis à près.

2.Compléter le tableau suivant :

	1	2	3	4	5	6	7	8
	57,94	108,27	149,60	228,06	396,44	778,73	1 427,7	2 872,4
	0			170,12
				5,137

3.

a.Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement (D), de la série , avec i compris entre 2 et 8.

b.Construire le nuage de points , avec compris entre 2 et 8, et la droite (D) dans un repère orthonormal, unités : 2 cm.

4.

a.Déduire de ce qui précède que l'on peut modéliser l'expression de , en fonction de , avec compris entre 2 et 8, sous la forme .

b.Calculer la distance moyenne probable au soleil d'une planète numérotée 9.
(Ce résultat est connu sous le nom de loi de Titius-Bode du nom de deux astronomes allemands qui permirent la découverte de Neptune n°9 en 1848... La loi tomba ensuite en désuétude mais l'ajustement étudié demeure excellent si l'on inclut " Pluton "... La planète naine en n°10).