Ajustement affine et exponentiel - Bac ES Centres étrangers 2009

Exercice 3

6 points - Commun à tous les candidats

Une exploitation minière extrait un minerai rare dans ses gisements depuis l'année 1963.
Le tableau suivant indique la quantité extraite en tonnes durant l'année désignée par son rang :

Année	1963	1968	1973	1978	1983	1988	1993	1998	2003	2008
Rang de l'année	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Quantité extraite en tonnes	18,1	15,7	13,3	11	9,3	7,8	7,1	6,1	5,2	4,3

Le nuage de points associé à cette série statistique à deux variables est représenté dans le repère orthogonal (O ; I, J) de l'annexe 1. Les unités graphiques de ce repère sont 1cm en abscisse et 0,5cm en ordonnée.
Dans cet exercice, on désigne par la variable la quantité extraite en tonnes et par la variable le rang de l'année.

Première partie

En première approximation, on envisage de représenter en tant que fonction affine de .

La droite d'ajustement affine de en obtenue par la méthode des moindres carrés admet pour équation dans laquelle les deux coefficients sont des valeurs arrondies au dixième.

2. Tracer la droite dans le repère de l'annexe 1.

 
Deuxième partie

On admet que la courbe tracée en annexe 1 représente un ajustement exponentiel de en fonction de et que son équation est de la forme où est un entier naturel et un nombre réel.

2. En supposant que la courbe passe parles points A(0; 18) et B(3; 11,2), calculer l'entier naturel et le réel dont on donnera une valeur approchée arrondie au centième.

 
Troisième partie

On effectue le changement de variable et on pose .

1. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant une valeur approchée de chaque résultat arrondie au centième :
 

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

2. À l'aide de la calculatrice et en donnant une valeur approchée de chaque coefficient arrondie au centième, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de en obtenue par la méthode des moindres carrés.

3. En déduire l'expression de en fonction de sous la forme et retrouver ainsi, en arrondissant au dixième, les coefficients et calculés à la question 2. de la deuxième partie.