Suite de fonctions - Bac S Centres étrangers 2009

Exercice 4

6 points - Commun à tous les candidats

Soit un entier naturel.
On note , la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par :

On note la courbe représentative de dans un repère orthogonal . Les courbes et sont représentées ci-dessous :

Partie A : Quelques propriétés des fonctions et des courbes

1. Démontrer que pour tout entier naturel les courbes ont un point A en commun. On préciser ses coordonnées.

2. Étude de la fonction

a. Étudier le sens de variation de .

b. Préciser les limites de la fonction en et . Interpréter graphiquement ces limites.

c. Dresser le tableau de variation de fonction sur .

3. Étude de la fonction

a. Démontrer que pour tout nombre réel .

b. En déduire les limites de la fonction en et , ainsi que son sens de variation.

c. Donner une interprétation géométrique de 3. a. pour les courbes et .

4. Étude de la fonction pour

a. Vérifier que pour tout entier naturel et pour tout nombre réel , on a :
.

b. Étudier les limites de la fonction en et en .

c. Calculer la dérivée et dresser le tableau de variations de la fonction sur .

 
Partie B : Étude d'une suite liée aux fonctions

On pose, pour tout entier naturel : .

1. Calculer puis montrer que . En déduire .

2. Démontrer que, pour tout entier : .

3. Calculer l'intégrale : . En déduire que la suite est convergente et préciser sa limite.