QCM général - Bac S Liban 2008

Exercice 2

5 points - Commun à tous les candidats

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Partie A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .

1.Soit z un nombre complexe d'argument
Proposition 1 : « est un nombre réel ».

2.Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe z différente de 1 du plan telle que
Proposition 2 : « l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels ».

3.Soit r la rotation d'angle et dont le centre K a pour affixe .
Proposition 3 : « l'image du point O par la rotation r a pour affixe ».

4.On considère l'équation (E) suivante :
Proposition 4 : « l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à 1 ».

 
Partie B
On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1, représenté ci-dessous.

Proposition 5 : « le vecteur est normal au plan (BDE) ».
Proposition 6 : « les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires ».

Corrigé

1. Proposition 1 : « est un nombre réel ».
FAUX

2.
Proposition 2 : « l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels ».
FAUX
Soit I le point d'affixe 1,

L'ensemble (E) est la médiatrice de [OI]. C'est une droite parallèle à l'axe des imaginaires purs (et non à l'axe des réels).

3. Proposition 3 : « l'image du point O par la rotation r a pour affixe ».
VRAI
Soit l'affixe de K et l'affixe de r(O):

Donc:

4. Proposition 4 : « l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à 1 ».
VRAI

Donc

et

5. Proposition 5 : « le vecteur est normal au plan (BDE) ».
VRAI

Or:
car les diagonales d'un carré sont perpendiculaires
car la droite (CG) est orthogonale au plan (ABCD)
Donc :
On montre de même que

Le vecteur est orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires du plan (BDE) donc est normal au plan (BDE)

6. Proposition 6 : « les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires ».
FAUX


Donc les droites (EB) et (ED) ne sont pas perpendiculaires