Bac S Amérique du Nord 2011 - Fonctions et suites
Exercice 4
Partie A
On considère la fonction 
définie sur 
par
1. Étudier les variations de la fonction .
.
2. Déterminer le signe de 
suivant les valeurs de 
.
suivant les valeurs de .
3. En déduire que pour tout de : 
.
de : .
Partie B
On considère la fonction 
définie sur [0;1] par
La courbe 
représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée ci-dessous.
Cette figure sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
On admet que est strictement croissante sur [0;1].
1. Montrer que pour tout de [0;1], ![f(x) in [0;1]](/files/formules/f_f44b2e018316440f347e053388973908.gif)
.
de [0;1], .
2. Soit (D) la droite d'équation 
.
.
a. Montrer que pour tout de [0;1], 
.
de [0;1], .
b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe sur [0;1].
sur [0;1].
3.
a. Déterminer une primitive de sur [0;1].
sur [0;1].
b. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe , la droite (CD) et les droites d'équations 
et 
.
, la droite (CD) et les droites d'équations et .
Partie C
On considère la suite 
définie par :
, pour tout entier naturel 
1. Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.
2. Montrer que pour tout entier naturel : 
.
: .
3. En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite.
est convergente et déterminer sa limite.
Partie A
1. est dérivable sur et :
.
Pour
, 
donc 
La fonction est croissante sur .
est dérivable sur et :.Pour
, donc La fonction
est croissante sur .
2.
.
Or, la fonction est croissante sur , donc pour tout 
: 
.
La fonction est positive ou nulle sur .
.Or, la fonction
est croissante sur , donc pour tout : .La fonction
est positive ou nulle sur .
3. Sur , 
donc:
.
, donc:.
Partie B
1. 
.
La fonction est croissante sur ![[0;1]](/files/formules/f_b8b4326ebb88870f8cc97ab3f59a0867.gif)
donc :
c'est à dire :
.
.La fonction
est croissante sur donc :c'est à dire :
.
2.
a.
.
.
b.On étudie le signe de 
sur . Sur cet intervalle :
(d'après A-2)
(d'après A-3)
Donc
. La courbe est au dessus de la droite 
.
sur . Sur cet intervalle : (d'après A-2) (d'après A-3)Donc
. La courbe est au dessus de la droite .
3.
a. est du type 
où 
est la fonction définie par 
Comme
, la fonction 
définie par 
est une primitive de sur
est du type où est la fonction définie par Comme
, la fonction définie par est une primitive de sur
b.Sur [0;1], la courbe 
est au dessus de la droite d'après 2-b.
L'aire, du domaine délimité par la courbe, la droite et les droites d'équations et est donc égale à :
est au dessus de la droite d'après 2-b.L'aire, du domaine délimité par la courbe
, la droite et les droites d'équations et est donc égale à :
![int_(0)^1 (f(x) - x)`d`x = [F(x) - (x^2)/(2)]_(0)^1 = F(1) - (1)/(2) - F(0)](/files/formules/f_ff225936459ce98b2888aecb16b10039.gif)
.(en unités d'aire)
4.
a.
b.