Bac ES Pondichéry 2011 - Etude de fonctions
Exercice 2
Commun à tous les candidats
La courbe 
tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction 
définie et dérivable sur 
.
On note 
la fonction dérivée de .
- La tangente
à la courbe au point 
passe par le point 
. - La droite
d'équation 
est asymptote horizontale à la courbe au voisinage de 
.
1.En utilisant les données et le graphique, préciser :
a.La valeur du réel 
et la valeur du réel 
.
et la valeur du réel .b.La limite de la fonction en .
en .2.Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point 
.
à la courbe au point .3.Préciser un encadrement par deux entiers consécutifs de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation 
.
, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation .4.On admet que la fonction est définie, pour tout nombre réel 
, par une expression de la forme 
, où 
et 
sont des nombres réels.
est définie, pour tout nombre réel , par une expression de la forme , où et sont des nombres réels.
a.Déterminer l'expression de 
en fonction de , de et de .
en fonction de , de et de .b.À l'aide des résultats de la question 1.a., démontrer que l'on a, pour tout réel :
.
:.5.Soit 
la fonction définie et dérivable sur par 
. On admet que est une primitive de sur .
Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à
près de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation . Ce résultat est-il cohérent avec l'encadrement obtenu à la question 3?
la fonction définie et dérivable sur par . On admet que est une primitive de sur .Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à
près de l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation . Ce résultat est-il cohérent avec l'encadrement obtenu à la question 3?1.
a. Par lecture graphique :
est le cœfficient directeur de la tangente au point A donc :
est le cœfficient directeur de la tangente au point A donc :
b. 
car la droite d'équation
est asymptote horizontale à la courbe 
au voisinage de .
car la droite d'équation
est asymptote horizontale à la courbe au voisinage de .
2. L'équation de T est :
3. L'aire recherchée est celle qui est colorée sur la figure ci-dessous :
Par lecture graphique :
.
4. 
On sait que et 
. Donc :
C'est-à-dire
et 
.
On sait que
et . Donc :C'est-à-dire
et .
5. L'aire demandée vaut :
![A=int_0^1f(x)dx=[x+(-4x-6)/(e^x)]_0^1=1-10/e-(-6)=7-10/e~=3,32](/files/formules/f_7e90297fa3c90552022fa03e224bb3ed.gif)
Ce résultat est cohérent avec le résultat trouvé à la question 3.
Ce résultat est cohérent avec le résultat trouvé à la question 3.