Bac S Pondichéry 2011 - Fonctions - Calcul d'aire

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes et représentatives de deux fonctions et définies sur l'intervalle .

On sait que :

. l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes et

. l'axe des abscisses est asymptote à la courbe

. la fonction est continue et strictement décroissante sur l'intervalle

. la fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle

. la limite quand tend vers de est .

Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.

1. La limite quand tend vers de est :

• 0
• 
• On ne peut pas conclure

2. La limite quand tend vers de est :

• 0
• 0,2
• On ne peut pas conclure

3. En , admet une asymptote oblique :

• Oui
• Non
• On ne peut pas conclure

4. Le tableau de signes de est :
1°)

2°)

3°)

On considère la fonction définie sur l'intervalle par

1. Déterminer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.

2. Étudier les variations de la fonction sur l'intervalle .

3. En déduire le signe de lorsque décrit l'intervalle .

4. Montrer que la fonction définie sur l'intervalle par est une primitive de la fonction sur cet intervalle.

5. Démontrer que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle .

6. Montrer que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle qu'on note .

7. Donner un encadrement de d'amplitude .

Soit et les fonctions définies sur l'intervalle par :

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes et représentatives des fonctions et .

1. A est le point d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.

2. P est le point d'intersection des courbes et . Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1).

3. On note l'aire du domaine délimité par les courbes , et les droites d'équations respectives
et (domaine grisé sur le graphique).

a. Exprimer l'aire à l'aide de la fonction définie dans la partie II.

b. Montrer que .

4. Soit un nombre réel de l'intervalle . On note l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives et les courbes et (domaine hachuré sur le graphique).

On souhaite déterminer une valeur de telle que .

a. Montrer que .

b. Conclure.

Corrigé

Partie I

1. La réponse correcte est .
En effet, l'énoncé indique que l'axe des ordonnées est asymptote de donc .
Comme est strictement décroissante sur , on a nécessairement .

2. La réponse correcte est 0.
L'axe des abscisses est asymptote à la courbe .

3. La réponse correcte est : « on ne peut pas conclure ».
Aucune indication n'est fournie par l'énoncé qui justifie ou démentit le résultat.

4. Le troisième tableau est le seul possible. En effet :

Par ailleurs, on montre facilement que est décroissante sur .

Partie II

1.
En effet:


La limite de s'obtient par somme algébrique de limites (pas de forme indéterminée).

En effet :


Là encore, la limite de s'obtient simplement comme somme de limites.

2. Les fonctions et sont toutes les deux strictement croissantes sur donc est strictement croissante sur cet intervalle comme somme de fonctions strictement croissantes (on peut aussi calculer la dérivée mais ce n'est pas utile !).

3. Comme et comme est strictement croissante, est strictement négative sur et strictement positive sur .
Le tableau de signe de est :

4. On calcule la dérivée  :

Donc est une primitive de sur .

5. La dérivée de est et est strictement positive sur d'après 3.. Donc est strictement croissante sur cet intervalle.

6.

Comme , l'équation admet une solution sur l'intervalle . Comme est strictement croissante sur cet intervalle, cette solution est unique.

7. A la calculatrice, on trouve : et donc .

Partie III

1. L'abscisse du point est solution de l'équation : . Donc :



Donc .

2. L'abscisse du point vérifie l'équation :



Donc d'après la partie II, et
Donc