Etude d'une fonction - Bac S Liban 2009

Exercice 2

8 points - Commun à tous candidats

On considère la fonction définie sur par

La courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthogonal est donnée en annexe.
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.

Partie A

1.

a.Déterminer la limite de la fonction en .

b.Montrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe . Tracer .

c.Étudier la position relative de et de .

d.Montrer que pour tout réel .

e.En déduire la limite de en .

2.

a.On note la fonction dérivée de la fonction .
Montrer que pour tout réel, .

b.En déduire les variations de la fonction .

 
Partie B

Soit un entier naturel non nul. On appelle , l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe , la droite d'équation et les droites d'équations et .

1.Justifier que pour tout entier naturel non nul, .

2.On admet que pour tout réel , .

Montrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, .
La suite est-elle convergente?

 
Partie C

Dans cette partie, on cherche à mettre en évidence une propriété de la courbe .

On note la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

1.Calculer le coefficient directeur de puis construire sur le graphique.