Probabilités - Combinaisons - Bac S Métropole 2009
Exercice 3
5 points - Commun à tous les candidats
I. Cette question est une restitution organisée de connaissances.
On rappelle que si 
et 
sont deux nombres entiers naturels tels que 
alors 
.
Démontrer que pour tout nombre entier naturel et pour tout nombre entier naturel tels que 
on a : 
.
II. Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :
7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3.
On tire simultanément deux jetons de ce sac.
1.
a. On note A l'événement " obtenir deux jetons blancs ".
Démontrer que la probabilité de l'événement A est égale à 
.
b. On note B l'événement " obtenir deux jetons portant des numéros impairs ".
Calculer la probabilité de B.
Calculer la probabilité de B.
c. Les événements A et B sont-ils indépendants ?
2. Soit 
la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
a. Déterminer la loi de probabilité de .
.
b. Calculer l'espérance mathématique de .
.
Partie I
Voir cours (calcul assez fastidieux!)
Partie II
1.
a.Le nombre total de tirages est 
Le nombre de tirages de deux jetons blancs est
(il y a 7 jetons blancs)
La probabilité cherchée est donc :
Le nombre de tirages de deux jetons blancs est
(il y a 7 jetons blancs)La probabilité cherchée est donc :
b.Il y a 6 jetons impairs.
Le nombre de tirages de deux jetons impairs est
La probabilité cherchée est donc :
Le nombre de tirages de deux jetons impairs est
La probabilité cherchée est donc :
c. Il y a 4 jetons blancs et impairs.
Le nombre de tirages de deux jetons blancs et impairs est
La probabilité de tirer deux jetons blancs et impairs est donc :
Or
donc : 
Les évènements A et B ne sont pas indépendants.
Le nombre de tirages de deux jetons blancs et impairs est
La probabilité de tirer deux jetons blancs et impairs est donc :
Or
donc : Les évènements A et B ne sont pas indépendants.
2. peut prendre les valeurs 0; 1 et 2.
L'évènement
correspond à " ne tirer aucun jeton blanc ". Comme il y a 3 jetons noirs :
L'évènement
correspond à " tirer un jeton blanc et un jeton noir ". Ici on ne tient pas compte de l'ordre. Comme il y a 3 jetons noirs et 7 jetons blancs, il y a 21 paires composées d'un jeton blanc et d'un jeton noir. Donc :
Enfin, l'évènement
est l'évènement A.
La loi de probabilité de est donnée par le tableau :
peut prendre les valeurs 0; 1 et 2.L'évènement
correspond à " ne tirer aucun jeton blanc ". Comme il y a 3 jetons noirs :L'évènement
correspond à " tirer un jeton blanc et un jeton noir ". Ici on ne tient pas compte de l'ordre. Comme il y a 3 jetons noirs et 7 jetons blancs, il y a 21 paires composées d'un jeton blanc et d'un jeton noir. Donc :Enfin, l'évènement
est l'évènement A.La loi de probabilité de
est donnée par le tableau : |
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