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Loi exponentielle - Bac S Métropole 2008

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre lambda où lambda est un réel strictement positif.
On rappelle que pour tout t >= 0 : P(X <= t) = int(0;t) lambda e^(-lambda x) `d`x.
La fonction R définie sur l'intervalle [0 ; +oo[ par R(t) = P(X>t) est appelée fonction de fiabilité.

1.Restitution organisée de connaissances

a.Démontrer que pour tout t >= 0, on a R(t) = e^(-lambda t).
b.Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel s >= 0, la probabilité conditionnelle P_(X>t)(X>t+s) ne dépend pas du nombre t >= 0.
2.Dans cette question, on prendra lambda = 0,00026.

a.Calculer P(X <= 1000) et P(X > 1000).
b.Sachant que l'évènement (X > 1000) est réalisé, calculer la probabilité de l'évènement (X > 2000).
c.Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de 2000 heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant 3000 heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
Corrigé
1.

a. Pour tout t>=0, les évènements (X<=t) et (X>t) sont complémentaires donc :
R(t)=1-P(X<=t)=1-int(0;t)lambda e^(-lambda x)dx
Une primitive de la fonction x|->lambda e^(-lambda x) est la fonction x|->- e^(-lambda x) donc :
R(t)=1-[- e^(-lambda x)]_0^t=1+(e^(-lambda t)-1)=e^(-lambda t)
b. P_(X>t)(X>t+s)=(P((X>t) inter (X>t+s)))/(P(X>t))
Or (X>t) inter (X>t+s) = (X>t+s)
donc :
P_(X>t)(X>t+s)=(P(X>t+s))/(P(X>t))=(R(t+s))/(R(t))
et d'après le a. :
P_(X>t)(X>t+s)=(e^(-lambda (t+s)))/(e^(-lambda t)) = e^(-lambda s)
ce qui est indépendant de t.
2.

a.
P(X>1000)=R(1000)=e^(-1000lambda)=e^(-0,26)
P(X<=1000)=1-R(1000)=1-e^(-0,26)
b. D'après la question 1.b. :
P_(X>1000)(X>2000)= P(X>1000) = e^(-0,26)
c.P_(X>2000)(X<=3000)= 1-P_(X>2000)(X>3000)
Donc d'après la question 1.b. :
P_(X>2000)(X<=3000) = 1 - P(X>1000) = 1-e^(-0,26)
Ce résultat était prévisible, la loi de durée de vie étant sans vieillissement.
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