Probabilités - Loi binomiale - Bac ES Métropole 2008
Exercice 2 (5 points)
(Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Le parc informatique d'un lycée est composé de 200 ordinateurs dont:
- 30 sont considérés comme neufs ;
- 90 sont considérés comme récents ;
- les autres sont considérés comme anciens.
Une étude statistique indique que :
- 5 % des ordinateurs neufs sont défaillants ;
- 10 % des ordinateurs récents sont défaillants ;
- 20 % des ordinateurs anciens sont défaillants.
On choisit au hasard un ordinateur de ce parc.
On note les événements suivants :
- N : « L'ordinateur est neuf » ;
- R : « L'ordinateur est récent » ;
- A : « L'ordinateur est ancien » ;
- D : « L'ordinateur est défaillant » ;
: l'événement contraire de D.
1.Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2.Calculer la probabilité que l'ordinateur choisi soit neuf et défaillant.
3.Démontrer que la probabilité que l'ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.
4.Déterminer la probabilité que l'ordinateur soit ancien sachant qu'il est défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
5.Pour équiper le centre de ressources de l'établissement, on choisit au hasard 3 ordinateurs dans le parc. On admet que le parc est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ces choix à des tirages successifs indépendants avec remise.
Déterminer la probabilité qu'exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
Déterminer la probabilité qu'exactement un des ordinateurs choisis soit défaillant. Donner le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
1.
Pour trouver P(N), par exemple, on fait :
(On peut, si l'on préfère, donner les probabilités sous forme de pourcentage)
2.La probabilité demandée est :
où
désigne la probabilité de D sachant N (que l'on écrit parfois p(D/N) )
où
désigne la probabilité de D sachant N (que l'on écrit parfois p(D/N) )3.N, R et A forment une partition de l'univers donc :
4.La probabilité demandée est :
5.Il s'agit d'une loi binomiale de probabilité p= 0,1325 avec 3 épreuves successives.
Il y a 3 possibilités pour qu'un ordinateur soit défaillant:
, 
, 
La probabilité cherchée est donc :
Il y a 3 possibilités pour qu'un ordinateur soit défaillant:
, , La probabilité cherchée est donc :