Probabilités - Lancers successifs - Bac S Pondichéry 2009

Exercice 4

4 points - Commun à tous les candidats

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à .

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1.On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.

a.Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?

b.Quelle est son espérance ?

c.Calculer .

2.On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.
On considère les événements D et A suivants:
•ﾠﾠ D : « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;
•ﾠﾠ A : « obtenir exactement deux 6 ».

a.Calculer la probabilité des événements suivants :
•ﾠﾠ « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;
•ﾠﾠ « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
(On pourra construire un arbre de probabilité).

b.En déduire que: .

c.Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué ?

3.On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé fois de suite ( désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).
On note l'événement « obtenir au moins un 6 parmi ces lancers successifs ».

a.Déterminer, en fonction de , la probabilité de l'événement .

b.Calculer la limite de la suite . Commenter ce résultat.

Corrigé

1.

a.La variable aléatoire suit une loi binômiale de paramètres et

b.

c..

2.

a.L'évènement « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » est

L'évènement correspond à « obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé bien équilibré » c'est à dire à l'évènement X=2 de la première question donc :

L'évènement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 » est

La probabilité correspond à « la probabilité d'obtenir exactement deux 6 sachant le dé choisi est le dé truqué » :

Donc :

b.D'après le théorème des probabilités totales :

c.Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué est :

3.

a.L'évènement contraire de est l'événement « n'obtenir aucun 6 parmi ces lancers successifs ».


Donc

b. Comme et :
.
Si on lance le dé "un très grand nombre de fois", on est "pratiquement assuré" d'obtenir au moins un 6 quel que soit le dé choisi.

ﾠ