Bac S Pondichéry 2011 - Probabilités : Jeu de fléchettes
Exercice 3
Commun à tous les candidats
Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
1.Le joueur lance une fléchette.
On note 
la probabilité d'obtenir 0 point.
On note 
la probabilité d'obtenir 3 points.
On note 
la probabilité d'obtenir 5 points.
On a donc 
. Sachant que 
et que 
déterminer les valeurs de , et ·
2.Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note
l'évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note
l'évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note
l'évènement : « le joueur perd la partie ».
On note
la probabilité d'un évènement 
.
On note
l'évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».On note
l'évènement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».On note
l'évènement : « le joueur perd la partie ».On note
la probabilité d'un évènement .
a.Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que 
.
On admettra dans la suite que
.On admettra dans la suite que
b.En déduire 
.
.3.Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?
4.Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S'il perd, il ne reçoit rien.
On note
la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour sont donc : -2, 1 et 3.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S'il perd, il ne reçoit rien.
On note
la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour sont donc : -2, 1 et 3.
a.Donner la loi de probabilité de .
.b.Déterminer l'espérance mathématique de . Le jeu est-il favorable au joueur ?
. Le jeu est-il favorable au joueur ?1. 
Donc:
, 
, 
.
Donc:
, , .
2.
a.
D'après l'arbre ci-dessus :
.
b. Les évènements , et sont incompatibles et forment une partition de l'univers. Donc 
.
Ce qui donne :
.
, et sont incompatibles et forment une partition de l'univers. Donc .Ce qui donne :
.3. Si l’on suppose les lancers indépendants, le nombre de gains suit une loi binomiale de paramètres 
et 
.
La probabilité que le joueur perde toutes les parties est
. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est 
.
et .La probabilité que le joueur perde toutes les parties est
. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est .
4.
a. D'après les questions précédentes :
b. L'espérance mathématique de est :
L'espérance mathématique est négative, donc le jeu n'est pas favorable au joueur.
est :L'espérance mathématique est négative, donc le jeu n'est pas favorable au joueur.