Bac S Amérique du Nord 2011 - Durée de vie d'un ordinateur

Exercice 2

Les parties A et B sont indépendantes

Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis.

On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle.

Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?

La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre avec .

Ainsi, pour tout réel positif, la probabilité qu'un ordinateur ait une durée de vie inférieure à années, notée , est donnée par : .

1. Déterminer sachant que .

2. Dans cette question, on prendra .

Sachant qu'un ordinateur n'a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à près, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ?

3. Dans cette question, on admet que la durée de vie d'un ordinateur est indépendante de celle des autres et que .

a. On considère un lot de 10 ordinateurs.

Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité.

b. Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'évènement " l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans " soit supérieure à 0,999 ?

Corrigé

Partie A

Les ordinateurs étant choisis au hasard, les différents choix sont équiprobables. Le nombre de choix possibles est .
Le nombre de choix comprenant deux ordinateurs défectueux est .
La probabilité recherchée est donc :
.

Partie B

1. Pour une loi exponentielle de paramètre :

et :

On a donc ici :

Cette probabilité est égale à 0,4 si et seulement si :

2. La probabilité demandée est :

3.

a. On a à faire à une loi binomiale de paramètres et .
La probabilité qu'aucun ordinateur n'ait une durée de vie supérieure à 5 ans est donc .
La probabilité qu'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans est donc :
.

b. Soit le nombre d'ordinateurs cherché. On doit résoudre l'inéquation :



La fonction étant strictement croissante :


Comme est strictement négatif :

Or . Donc le nombre d'ordinateurs cherché est 14.